¿Qué es la verdadera magnitud?

Es la medida real de un elemento del espacio: la longitud de un segmento, el ángulo entre dos rectas o la forma y el área de una figura plana. En diédrico solo se ve cuando el elemento es paralelo al plano de proyección; en el resto de casos hay que hallarla con un procedimiento.

¿Cuál es el método más rápido para un segmento?

El triángulo de cotas: en planta se levanta, perpendicular al segmento, la diferencia de cota entre sus extremos, y la hipotenusa es la longitud real. No hace falta ningún plano auxiliar y el mismo triángulo da el ángulo con el plano horizontal.

¿Se puede hallar el área de una figura con la verdadera magnitud?

Sí: una vez la figura está en VM, el área se calcula con las fórmulas de la geometría plana o se mide sobre el dibujo con la escala. En proyección, el área se ve reducida por el coseno del ángulo del plano con el de proyección, por eso no se mide directamente.

¿Qué es el triángulo de cotas?

Un triángulo rectángulo cuyos catetos son la proyección del segmento en planta y la diferencia de cota entre sus extremos. Su hipotenusa es la longitud real del segmento y su ángulo en la planta es la inclinación del segmento con el plano horizontal.

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Apunte

Verdadera magnitud en el sistema diédrico

Cómo hallar la verdadera magnitud de un segmento, un ángulo y una figura plana en diédrico: triángulo de cotas, cambio de plano y abatimiento.

En diédrico dibujamos un objeto del espacio con sus proyecciones, y casi siempre las proyecciones no muestran las medidas reales. Un segmento inclinado se ve más corto de lo que es en planta y en alzado; un cuadrado inclinado se ve como un paralelogramo; un ángulo recto puede verse agudo. La verdadera magnitud (VM) es la medida real: la longitud de un segmento, el valor de un ángulo, la forma y el área de una figura.

Hallarla es un problema que aparece dentro de otros: para medir la distancia de un punto a un plano hay que dar la VM de un segmento; para construir un polígono sobre un plano, la VM de la figura; para dibujar un poliedro regular, la VM de sus caras. Por eso conviene dominar los métodos con soltura y saber cuál elegir.

Aquí tienes los tres métodos del método directo (triángulo de cotas, cambio de plano y abatimiento), cuándo usar cada uno, cómo se mide la inclinación de una recta y de un plano, y un ejercicio resuelto.

Definiciones

Verdadera magnitud (VM): Medida real de un elemento, que solo se ve en proyección si es paralelo al plano de proyección.
Triángulo de cotas: Triángulo rectángulo con la proyección horizontal y la diferencia de cota como catetos; da la longitud real y la inclinación.
Plano de canto: Plano que se ve como una recta en una proyección; condición previa para ponerlo paralelo a otra.

1. Cuándo se ve la verdadera magnitud

Un elemento se ve en verdadera magnitud en una proyección cuando es paralelo al plano de proyección:

Un segmento horizontal se ve en VM en la planta; uno frontal, en el alzado; uno de perfil, en la vista lateral.
Una figura plana horizontal se ve en VM en la planta; una frontal, en el alzado.
Un ángulo se ve en VM cuando su plano es paralelo al de proyección.

Si el elemento no es paralelo a ningún plano de proyección, hay que cambiar algo (el punto de vista o la posición del elemento) hasta que lo sea. Los tres métodos que siguen hacen eso de formas distintas: el triángulo de cotas gira el segmento, el cambio de plano mueve el plano de proyección y el abatimiento gira el plano de la figura.

2. VM de un segmento: el triángulo de cotas

Para un segmento $AB$ del que tenemos $a'b'$ y $ab$ , el método más rápido no necesita ningún plano nuevo:

En planta, por un extremo (por ejemplo $a$ ), levanta una perpendicular a $ab$ .
Sobre ella, a partir de $a$ , lleva la diferencia de cota entre $A$ y $B$ , que se lee en el alzado (distancia vertical entre $a'$ y $b'$ ).
Une el extremo de ese segmento con $b$ : la hipotenusa del triángulo rectángulo es la longitud real de $AB$ .

El mismo triángulo da el ángulo del segmento con el plano horizontal: es el que forman la hipotenusa y el cateto $ab$ . Si en cambio tomas la diferencia de alejamiento y trabajas en alzado, obtienes la VM y el ángulo con el plano vertical.

Es el método que más se usa dentro de otros ejercicios porque cabe en una esquina del dibujo y no obliga a cambiar la lámina. Su límite: solo sirve para segmentos sueltos, no para figuras enteras.

3. VM de un segmento y de una figura: el cambio de plano

El cambio de plano sustituye un plano de proyección por otro, elegido por nosotros, paralelo al elemento que queremos medir. Para un segmento $AB$ :

Traza una nueva línea de tierra $LT_1$ paralela a $ab$ (en la planta) y en una zona libre del papel.
Desde $a$ y $b$ baja perpendiculares a $LT_1$ .
Sobre ellas lleva las cotas de $A$ y $B$ tomadas desde la referencia común, como en el alzado.
El segmento $a_1b_1$ de la vista nueva es la VM de $AB$ .

Para una figura plana hacen falta dos cambios: el primero deja el plano de canto (se ve como una recta) y el segundo toma una $LT_2$ paralela a esa recta, de modo que el plano queda paralelo a la nueva proyección. La figura se ve entonces en VM y se construye allí. Es el camino que sigue el apunte de cambio de plano.

Ventaja sobre el abatimiento: en cuanto el plano está de canto, también se resuelven las intersecciones y las distancias sin más dibujo.

4. VM de una figura plana: el abatimiento

Abatir es girar el plano alrededor de una de sus rectas (la charnela, normalmente una horizontal) hasta dejarlo horizontal. La figura abatida es la VM. Cada punto se abate con su triángulo de cotas y, en cuanto hay uno abatido, los demás salen por afinidad. Todo el procedimiento está desarrollado en el apunte de abatimiento.

Cuándo elegirlo: cuando el ejercicio solo pide construir una figura en un plano (un cuadrado, un triángulo, una circunferencia) y volver a las proyecciones. Es más rápido que dos cambios de plano y deja un dibujo compacto.

Cuándo evitarlo: si a continuación hay que cortar la figura con una recta o un plano, o si el plano está casi vertical (las perpendiculares quedan casi paralelas y el dibujo se descontrola). En esos casos, el cambio de plano.

5. Ángulos: con el plano horizontal, con el vertical y entre rectas

La VM también sirve para medir ángulos:

Ángulo de una recta con el plano horizontal. Se lee en el triángulo de cotas del segmento: entre la hipotenusa y la proyección horizontal.
Ángulo de una recta con el plano vertical. El mismo triángulo con la diferencia de alejamiento y la proyección vertical.
Ángulo de un plano con el horizontal. Se mide en la recta de máxima pendiente: en planta es perpendicular a las horizontales del plano, y el triángulo de cotas de un segmento suyo da el ángulo.
Ángulo entre dos rectas que se cortan. Se abate el plano que las contiene (por una horizontal del plano) y el ángulo se mide en el abatido, o se pone el plano paralelo a una proyección con cambios de plano.

Un truco de examen: si el ángulo que piden es entre una recta y un plano, no lo calcules directamente; halla la perpendicular al plano por un punto de la recta y mide el ángulo complementario: es más fácil de leer.

6. Elegir el método: una tabla para decidir en el examen

Pregunta del ejercicio	Mejor método
Longitud de un segmento	Triángulo de cotas
Ángulo de una recta con un plano de proyección	Triángulo de cotas
Figura plana (cuadrado, triángulo, circunferencia) y volver a las proyecciones	Abatimiento
Figura plana y además cortar, medir distancias o trabajar con un sólido	Cambio de plano
Distancia de un punto a un plano	Cambio de plano que deje el plano de canto
Verdadera magnitud de la sección de un poliedro o de la esfera	Cambio de plano

Si dudas, elige el que ocupe menos papel y tenga menos pasos. En un examen cada paso extra es una oportunidad de equivocarse. Y deja siempre a la vista el triángulo de cotas o la línea de tierra nueva: el corrector puntúa el método, no solo el resultado.

7. Ejercicio resuelto: verdadera magnitud de una figura plana

En el ejercicio resuelto de la figura se parte de un plano y una figura contenida en él, de la que solo se conocen las proyecciones, y se pide su verdadera magnitud. Recorre los pasos: la horizontal que hace de charnela, el triángulo de cotas del primer punto, la afinidad para el resto y la figura final con sus medidas reales.

Después, prueba a resolverlo con un cambio de plano en lugar de abatiendo, y compara los dibujos: la forma obtenida es la misma, pero el cambio de plano deja además el plano de canto, que es lo que necesitarías si el ejercicio continuara con una intersección. Más ejercicios en distancia de un punto a un plano y cuadrado contenido en un plano.

Verdadera magnitud de una figura plana

Paso 1 de 5 · Horizontal del plano por A

Tomamos como charnela la horizontal del plano por

A

h'

paralela a la línea de tierra por

a'

, cortamos otra recta del plano en

m'

y bajamos

m

Con las flechas ← → cambias de paso · espacio reproduce · Inicio y Fin van al primero y al último

La charnela, el triángulo de cotas y la figura abatida en verdadera magnitud.

Qué se aprende

Reconocer cuándo un elemento se ve en verdadera magnitud (paralelo al plano de proyección).
Hallar la longitud de un segmento y su ángulo con el triángulo de cotas.
Poner una figura plana en VM con dos cambios de plano o con abatimiento.
Medir ángulos de rectas y planos con los planos de proyección.
Elegir el método más corto según lo que pida el ejercicio.

Errores típicos

Medir la longitud de un segmento directamente en alzado o en planta cuando no es paralelo al plano de proyección.
Usar la diferencia de cota cuando se está trabajando con el ángulo respecto al plano vertical (y al revés).
Colocar la línea de tierra nueva sin que sea paralela al elemento: la vista nueva sigue deformada.
Mezclar cotas y alejamientos: en el cambio de plano vertical se conservan las cotas, en el horizontal los alejamientos.
Tomar la VM de una figura y olvidar volver a las proyecciones: sin desabatir no hay solución.

Para practicar

Subir mi lámina y resolverla →

Preguntas frecuentes

¿Qué es la verdadera magnitud?: Es la medida real de un elemento del espacio: la longitud de un segmento, el ángulo entre dos rectas o la forma y el área de una figura plana. En diédrico solo se ve cuando el elemento es paralelo al plano de proyección; en el resto de casos hay que hallarla con un procedimiento.
¿Cuál es el método más rápido para un segmento?: El triángulo de cotas: en planta se levanta, perpendicular al segmento, la diferencia de cota entre sus extremos, y la hipotenusa es la longitud real. No hace falta ningún plano auxiliar y el mismo triángulo da el ángulo con el plano horizontal.
¿Se puede hallar el área de una figura con la verdadera magnitud?: Sí: una vez la figura está en VM, el área se calcula con las fórmulas de la geometría plana o se mide sobre el dibujo con la escala. En proyección, el área se ve reducida por el coseno del ángulo del plano con el de proyección, por eso no se mide directamente.
¿Qué es el triángulo de cotas?: Un triángulo rectángulo cuyos catetos son la proyección del segmento en planta y la diferencia de cota entre sus extremos. Su hipotenusa es la longitud real del segmento y su ángulo en la planta es la inclinación del segmento con el plano horizontal.