¿Cómo se trazan los focos de una elipse?

Con centro en un extremo del eje menor y radio igual al semieje mayor se corta al eje mayor: los dos puntos de corte son los focos.

¿Qué relación hay entre las cónicas y el cono?

Son las secciones de un cono de revolución: la elipse sale al cortarlo con un plano inclinado que corta todas las generatrices, la parábola con un plano paralelo a una generatriz y la hipérbola con un plano que corta a las dos hojas.

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Apunte

Curvas cónicas: elipse, parábola e hipérbola, trazado y propiedades

Elipse, parábola e hipérbola en Dibujo Técnico: definición como lugar geométrico, focos, ejes y asíntotas, trazado por puntos con regla y compás, tangentes y ejercicios resueltos.

Las cónicas son las curvas que salen al cortar un cono con un plano: elipse, parábola e hipérbola (y la circunferencia, como caso particular de elipse). En Dibujo Técnico se estudian como lugares geométricos: el conjunto de puntos que cumplen una condición sencilla respecto a uno o dos puntos fijos, los focos.

En el examen casi siempre se piden tres cosas: trazar la curva por puntos a partir de sus datos (ejes, focos, directriz), hallar los focos o los ejes y dibujar una tangente. Todo sale de una definición y de unas pocas propiedades.

Definiciones

Foco: Punto fijo que define una cónica como lugar geométrico.
Directriz: Recta fija que, junto con el foco, define la parábola.
Excentricidad: Cociente c/a entre la distancia focal y el semieje: distingue elipse, parábola e hipérbola.
Asíntota: Recta a la que se acerca indefinidamente una rama de la hipérbola.

1. La elipse

Definición: lugar de los puntos cuya suma de distancias a dos focos $F_1$ y $F_2$ es constante e igual al eje mayor: $PF_1 + PF_2 = 2a$ .

Elementos:

Los ejes: el mayor ( $2a$ ) y el menor ( $2b$ ), perpendiculares en el centro $O$ .
Los focos, sobre el eje mayor, a distancia $c$ del centro, con $c^2 = a^2 - b^2$ .
Los vértices, extremos de los ejes.

Hallar los focos: con centro en un extremo del eje menor y radio $a$ se corta al eje mayor: los dos puntos obtenidos son $F_1$ y $F_2$ .

Trazado por circunferencias concéntricas (el que se pide siempre):

Se trazan dos circunferencias con centro en $O$ , de radios $a$ y $b$ .
Se traza un radio cualquiera: corta a la mayor en $P$ y a la menor en $Q$ .
Por $P$ la perpendicular al eje mayor; por $Q$ la paralela al eje mayor. Se cortan en un punto $X$ de la elipse.
Se repite con más radios y se completa por simetría.

Tangente en un punto $P$ : es la bisectriz exterior del ángulo que forman los radios vectores $PF_1$ y $PF_2$ . Por eso un rayo que sale de un foco se refleja en la elipse hacia el otro.

2. La parábola

Definición: lugar de los puntos equidistantes de un punto (el foco $F$ ) y de una recta (la directriz $d$ ).

Elementos:

El eje: perpendicular a la directriz por el foco.
El vértice $V$ : punto medio entre el foco y el pie del eje en la directriz.
El parámetro $p$ : distancia del foco a la directriz.

Trazado por puntos:

Se toma una distancia $s$ mayor que $p/2$ y se traza la paralela a la directriz a esa distancia.
Con centro en $F$ y radio $s$ se corta a esa paralela en dos puntos: son de la parábola, porque están a distancia $s$ de $F$ y de $d$ .
Se repite con otras distancias y se unen los puntos.

Tangente en un punto $P$ : es la bisectriz del ángulo entre el radio vector $PF$ y la perpendicular a la directriz por $P$ . La tangente en el vértice es perpendicular al eje, es decir, paralela a la directriz.

3. La hipérbola

Definición: lugar de los puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante: $|PF_1 - PF_2| = 2a$ . Tiene dos ramas.

Elementos:

El eje real ( $2a$ ), que une los vértices.
Los focos, a distancia $c$ del centro con $c^2 = a^2 + b^2$ .
Las asíntotas: rectas por el centro, de pendiente $\pm b/a$ , a las que se acercan las ramas sin tocarlas. Se obtienen con las diagonales del rectángulo de lados $2a$ y $2b$ .

Trazado por puntos:

Se elige un radio $\rho$ mayor que $c + a$ .
Con centro en $F_1$ y radio $\rho$ , y con centro en $F_2$ y radio $\rho - 2a$ , se trazan dos arcos que se cortan: son puntos de una rama.
Intercambiando focos se obtienen los de la otra rama. Se repite con varios radios.

Tangente en un punto $P$ : es la bisectriz interior del ángulo $F_1PF_2$ .

4. Resumen para no mezclar nada

	Elipse	Parábola	Hipérbola
Condición	$PF_1 + PF_2 = 2a$	$PF = d(P, \text{directriz})$	$\lvert PF_1 - PF_2 \rvert = 2a$
Focos	Dos	Uno	Dos
Relación	$c^2 = a^2 - b^2$	—	$c^2 = a^2 + b^2$
Tangente	Bisectriz exterior	Bisectriz del radio vector y la perpendicular a la directriz	Bisectriz interior
Curva	Cerrada	Abierta	Dos ramas con asíntotas

Excentricidad $e = c/a$ : menor que 1 en la elipse, igual a 1 en la parábola y mayor que 1 en la hipérbola.

Qué se aprende

Elipse: suma de distancias a los focos constante e igual a 2a.
Parábola: equidistancia entre el foco y la directriz.
Hipérbola: diferencia de distancias a los focos constante e igual a 2a, con dos ramas y asíntotas.
Los focos de la elipse se hallan con un arco de radio a desde un extremo del eje menor.
La tangente a la elipse es la bisectriz exterior de los radios vectores; a la hipérbola, la interior.

Errores típicos

Tomar como radio del arco para los focos el semieje menor en vez del mayor.
Unir los puntos de la elipse con segmentos rectos en vez de a mano con plantilla de curvas.
Confundir la bisectriz interior con la exterior al trazar la tangente.
En la hipérbola, usar $\rho - 2a$ en el foco equivocado y obtener la rama contraria.

Para practicar

Subir mi lámina y resolverla →

Preguntas frecuentes

¿Cómo se trazan los focos de una elipse?: Con centro en un extremo del eje menor y radio igual al semieje mayor se corta al eje mayor: los dos puntos de corte son los focos.
¿Qué relación hay entre las cónicas y el cono?: Son las secciones de un cono de revolución: la elipse sale al cortarlo con un plano inclinado que corta todas las generatrices, la parábola con un plano paralelo a una generatriz y la hipérbola con un plano que corta a las dos hojas.