Sistema diédrico: puntos, rectas y planos

Cada punto tiene dos medidas que importan:

• La cota es su altura. Se ve en el alzado: cuanto más arriba está $a'$, más alto está $A$.
• El alejamiento es lo que se separa hacia delante, hacia el observador. Se ve en la planta: cuanto más abajo está $a$ en el papel, más adelantado está $A$.

Las dos proyecciones de un punto están en la misma vertical del papel: es su línea de referencia. Si al leer un ejercicio $a$ y $a'$ no están en la misma vertical, algo está mal leído.

Notación de clase: la planta sin prima ($a$), el alzado con prima ($a'$), la vista de un cambio de plano con subíndice ($a_1$) y el punto abatido entre paréntesis ($(A)$).

Comparar dos puntos es lo que más se hace: el de $a'$ más alto tiene más cota; el de $a$ más bajo en el papel está más adelante. No hace falta ninguna línea de tierra para eso.

Una recta se da con sus dos proyecciones (o con dos de sus puntos). Según cómo esté colocada, se reconoce a simple vista:

La recta de perfil está contenida en un plano de perfil (perpendicular a los dos planos de proyección). Sus dos proyecciones caen en la misma vertical del papel, así que con ellas solas no se sabe cómo está inclinada. Para trabajar con ella se necesitan dos de sus puntos y un cambio de plano al perfil, donde se ve en verdadera magnitud.

Un plano no se dibuja entero: se dibuja lo que lo define. Puede venir dado por tres puntos no alineados, por una recta y un punto, por dos rectas que se cortan o por dos rectas paralelas.

Para trabajar en un plano se usan sus rectas especiales:

• Horizontal del plano ($h$): todos sus puntos tienen la misma cota. En alzado es horizontal; en planta, oblicua. Se obtiene cortando el plano con un nivel: se traza la horizontal en alzado, se ve dónde corta a dos rectas del plano y se bajan esos puntos a planta.
• Frontal del plano ($f$): todos sus puntos tienen el mismo alejamiento. En planta es horizontal; en alzado, oblicua.
• Recta de máxima pendiente: la más inclinada del plano respecto al horizontal. En planta es perpendicular a las horizontales. Da el ángulo del plano con el plano horizontal.

Plano proyectante: es perpendicular a uno de los planos de proyección y en esa proyección se ve de canto, como una recta. Todo lo que está en él cae sobre esa recta, y por eso facilita tanto las intersecciones. Si el plano del ejercicio no es proyectante, se convierte en proyectante con un cambio de plano (siguiente apunte).

Abatir es girar un plano alrededor de una recta suya (la charnela) hasta dejarlo horizontal. Así una figura del plano se ve en verdadera magnitud y se puede construir con regla y compás.

Con una horizontal $h$ como charnela:

1. Los puntos de la charnela no se mueven: su abatido coincide con su planta.
2. Para cualquier otro punto $A$: desde $a$ se traza la perpendicular a $h$. Sobre $h$ se forma el triángulo de cotas: un cateto es la distancia de $a$ a $h$ en planta y el otro la diferencia de cota entre $A$ y la charnela (sacada del alzado). La hipotenusa es el radio de giro: con centro en el pie de la perpendicular se lleva sobre ella y se obtiene $(A)$.
3. Afinidad: la planta y el abatido de los puntos de un plano son figuras afines. El eje es la charnela, la dirección es la perpendicular a la charnela, y una recta y su abatida se cortan sobre el eje. Con un solo punto abatido, los demás salen por afinidad sin repetir el triángulo.

Desabatir es el camino inverso: desde $(D)$, la perpendicular a la charnela y la afinidad dan $d$; después $d'$ sale con la línea de referencia y una recta del plano que pase por $D$.

El abatimiento y el cambio de plano consiguen lo mismo (ver la figura en verdadera magnitud). Para la esfera y para los cortes con planos, el cambio de plano suele dejar el dibujo más limpio.

Un segmento solo se ve con su longitud real cuando es paralelo al plano de proyección. Si no, hay dos métodos:

• Triángulo de cotas (el más rápido): en planta, desde un extremo, se levanta perpendicular a $ab$ la diferencia de cota entre $A$ y $B$. La hipotenusa es la verdadera magnitud de $AB$.
• Cambio de plano: se coloca una línea de tierra nueva paralela a $ab$ y se llevan las cotas. En la vista nueva, $a_1b_1$ es la verdadera magnitud.

Los dos dan el mismo resultado. Si además hace falta el ángulo con el plano horizontal, se lee en el triángulo de cotas, entre la hipotenusa y el cateto de la planta.

Casi todos los ejercicios terminan en una intersección. La receta es siempre meter un elemento dentro de otro:

Recta con plano.

1. Se mete la recta en un plano proyectante auxiliar (por ejemplo, el plano vertical que la contiene: en planta coincide con la propia recta).
2. Ese plano auxiliar corta al plano dado en una recta $i$: se halla en planta y se sube al alzado.
3. Donde $i'$ corta a $r'$ está el punto de intersección; se baja a planta por su línea de referencia.

Plano con plano. Dos puntos de la recta común, cada uno como corte de una recta de un plano con el otro (o con dos planos auxiliares horizontales o frontales).

Perpendicular a un plano. En planta es perpendicular a las horizontales del plano; en alzado, perpendicular a las frontales.

Distancia de un punto a un plano. Se traza la perpendicular, se halla su pie (intersección con el plano) y se mide el segmento en verdadera magnitud. Con un cambio de plano que deje el plano de canto, la distancia se mide directamente.

Visibilidad. Donde dos elementos se cruzan en una proyección, se mira en la otra cuál está delante:

• En planta se ve el que tiene más cota (está encima).
• En alzado se ve el que tiene más alejamiento (está más cerca del observador).

Lo que se ve, con trazo continuo; lo que queda detrás, discontinuo.