Homología y afinidad en Dibujo Técnico: elementos, trazado y rectas límite

Una homología queda determinada por:

• El centro $O$ (punto doble): los puntos homólogos están siempre alineados con $O$. Toda recta que pasa por $O$ es su propia homóloga.
• El eje $e$ (recta doble): sus puntos se corresponden consigo mismos. Dos rectas homólogas se cortan siempre sobre el eje.
• Un par de puntos homólogos $A$ y $A'$ (alineados con $O$), que fija la «intensidad» de la deformación.

Con esto basta. Si el enunciado da otros datos (por ejemplo, una recta límite o dos pares de puntos), se convierten en estos tres.

Conocidos $O$, $e$ y el par $A$, $A'$, para hallar el homólogo $B'$ de un punto $B$:

1. Se une $A$ con $B$ y se halla el punto $M$ donde la recta $AB$ corta al eje $e$. $M$ es un punto doble.
2. La homóloga de $AB$ pasa por $M$ y por $A'$: se traza la recta $MA'$.
3. Se une $O$ con $B$. El punto $B'$ está en esa recta y en $MA'$: es su corte.

Se repite con cada vértice y se unen los homólogos en el mismo orden que la figura. Comprobación: un lado cualquiera $BC$ y su homólogo $B'C'$ tienen que cortarse sobre el eje. Si no ocurre, hay un error en algún vértice.

Cuidado con el orden: no se une $B'$ con $A$ ni con nada de la figura original: las homólogas siempre pasan por un punto del eje.

Hay dos puntos de vista que conviene distinguir:

• La recta límite $R_L$ está en el plano de la figura dada: es el lugar de los puntos cuyo homólogo está en el infinito.
• La recta límite $R'_L$ está en el plano de la figura homóloga: es el lugar de los puntos que son el homólogo de puntos del infinito.

Las dos son paralelas al eje y se hallan así:

1. Se toma una recta cualquiera de la figura (por ejemplo, $AB$) y su homóloga $MA'$.
2. Por $O$ se traza la paralela a la homóloga $MA'$: corta a $AB$ en $I$. La recta límite $R_L$ pasa por $I$, paralela al eje.
3. Por $O$ se traza la paralela a $AB$: corta a $MA'$ en $I'$. La recta límite $R'_L$ pasa por $I'$, paralela al eje.

Dos relaciones que sirven de comprobación: $d(O, R_L) = d(e, R'_L)$ y $d(e, R_L) = d(O, R'_L)$.

Una figura que cruza $R_L$ se «parte» al transformarse: una parte se va hacia un lado y otra hacia el contrario, pasando por el infinito. Por eso, en un ejercicio razonable, la figura queda entera a un lado de $R_L$.

La homóloga de una circunferencia es una cónica, y cuál depende de su posición respecto a la recta límite $R_L$:

Es el fundamento de las secciones de un cono: cortar un cono de revolución con planos distintos da elipse, parábola o hipérbola, y la circunferencia de la base se proyecta desde el vértice (el centro de homología) sobre el plano de corte.

Para dibujarla, se hallan los homólogos de varios puntos de la circunferencia (los extremos de dos diámetros perpendiculares y alguno más) y se une a mano con plantilla de curvas. Las tangentes en puntos homólogos también son homólogas, y eso permite dibujar la curva con mucha más precisión.

Cuando el centro está en el infinito, los rayos que unen cada punto con su homólogo son paralelos entre sí. Esa dirección común es la dirección de afinidad. Quedan el eje $e$, esa dirección y un par $A$, $A'$.

El trazado es el mismo que en la homología, cambiando «recta que pasa por $O$» por «recta paralela a la dirección de afinidad». Para $B'$:

1. $M = AB \cap e$.
2. La afín de $AB$ pasa por $M$ y $A'$.
3. Por $B$, la paralela a $AA'$ corta a $MA'$ en $B'$.

Invariantes que conviene recordar:

• El paralelismo se conserva: dos rectas paralelas tienen afines paralelas.
• La razón entre segmentos de una misma recta se conserva.
• Las áreas se multiplican por una constante: la razón de afinidad $k = d(A', e) / d(A, e)$.
• Una circunferencia se transforma en una elipse.

Cuando la dirección de afinidad es perpendicular al eje (afinidad ortogonal) y el eje pasa por el centro de la circunferencia, los ejes de la elipse son el propio eje y su perpendicular, con semiejes $r$ y $k\,r$. Es el fundamento del método de las circunferencias concéntricas para trazar una elipse dados sus ejes.

Si se lleva el eje al infinito, la homología se convierte en una homotecia de centro $O$: los homólogos están alineados con $O$ y sus distancias a $O$ están en una razón constante. La figura homotética es semejante: mismos ángulos, tamaño proporcional.

La homotecia es la herramienta de los problemas de tangencias con homotecia, como la circunferencia tangente a dos rectas que pasa por un punto (Apolonio): se resuelve con una circunferencia auxiliar y se lleva a la solución con una homotecia de centro el vértice.

Resumen de casos:

1. Rotula centro, eje, par de puntos homólogos y todos los puntos auxiliares ($M_1$, $M_2$…).
2. Dibuja la figura dada en trazo medio y la homóloga en trazo grueso y color diferente, como pide el enunciado.
3. Las rectas de construcción, finas y continuas; no las borres: puntúan.
4. Si piden las rectas límite, márcalas con $R_L$ y $R'_L$ y comprueba las dos relaciones de distancias.
5. Comprueba al final que cada lado y su homólogo se cortan sobre el eje.