Intersección de planos en el sistema diédrico

Una recta queda determinada por dos puntos. Si encontramos dos puntos que estén a la vez en los dos planos, la recta de intersección es la que los une. Hasta aquí, simple. El problema es hallar esos puntos.

Cada punto común se obtiene así: se toma una recta de un plano y se busca dónde corta al otro plano. Es decir, se reduce el problema a la intersección de una recta con un plano, que ya sabemos resolver con un plano auxiliar proyectante. Si lo repetimos con otra recta del primer plano (o con una del segundo), tendremos el segundo punto.

Fíjate en una idea útil: no hace falta que la recta elegida sea un lado de la figura. Vale cualquier recta del plano, y las más cómodas son las horizontales y las frontales, porque son fáciles de dibujar en las dos proyecciones.

Es el método que más se usa. Se cortan los dos planos con un plano horizontal auxiliar $\pi$ (un «nivel»):

1. Elige una cota y traza en alzado una recta horizontal: es el plano auxiliar visto de canto.
2. Ese nivel corta a cada plano en una horizontal: en alzado se lee dónde corta a las rectas que definen cada plano; se bajan esos puntos a planta y se unen. Obtienes dos horizontales $h_1$ (del primer plano) y $h_2$ (del segundo), paralelas a la referencia en alzado y oblicuas en planta.
3. En planta, las horizontales $h_1$ y $h_2$ se cortan en un punto $P$. Ese punto pertenece a los dos planos: es un punto de la intersección.
4. Repite con otro nivel (otra cota) para obtener un segundo punto $Q$.
5. La recta $PQ$ es la intersección. Se sube $P$ y $Q$ al alzado, cada uno sobre la horizontal de su nivel.

Si las dos horizontales de un nivel resultan paralelas y distintas en planta, ese nivel no da un punto: la recta de intersección es horizontal y está a otra cota (o los planos son paralelos). Cambia de nivel; si en algún nivel las dos horizontales coinciden, esa horizontal es la propia intersección. Y si algún punto cae fuera del papel, usa niveles más próximos entre sí: los puntos de la intersección se encuentran dentro del triángulo que definen los planos o fuera, pero sobre la misma recta.

Otra manera de hallar la intersección es poner uno de los planos de canto: se hace con un cambio de plano, como se explica en el apunte de cambio de plano. En la vista nueva, el primer plano es una recta, y el segundo plano, que viene dado por puntos o rectas, se dibuja con ellas.

La recta del plano de canto corta a las rectas del otro plano en puntos evidentes: son los puntos de la intersección. Se llevan de vuelta a la planta y al alzado con las cotas conservadas.

Ventajas: es muy limpio (se leen directamente los dos puntos) y sirve cuando los planos horizontales auxiliares quedarían muy juntos. Inconveniente: necesita una vista nueva en una zona libre del papel. Si ya tienes que hacer un cambio de plano por otro motivo del ejercicio (la sección de una esfera, un poliedro), esta es la opción obvia.

Un esquema ordenado ahorra errores:

1. Identifica los planos. Cómo vienen dados y qué rectas notables se pueden sacar directamente: dos lados de un triángulo, una horizontal ya dibujada…
2. Elige el método. Planos horizontales auxiliares si los dos planos vienen por puntos en las dos proyecciones; cambio de plano si ya hay uno que deba ponerse de canto.
3. Calcula el primer punto de la intersección y comprueba que cae sobre una recta de cada plano en las dos proyecciones.
4. Calcula el segundo punto con otro nivel (o otra recta).
5. Dibuja la recta, extendida hasta los bordes de los planos (si son figuras acotadas, solo entre los puntos de entrada y salida).

Comprobación final: un tercer punto de la recta, obtenido con otro nivel, debe caer alineado con los dos primeros en planta y en alzado. Si no lo está, hay un error de medida.

Y recuerda: en este método no se pregunta por la visibilidad hasta el final. Los puntos se obtienen con rectas auxiliares; solo después se decide qué parte de la figura queda delante.

Cuando los planos son figuras acotadas (un triángulo y un cuadrado, por ejemplo), la intersección solo existe dentro de ambas figuras. Una vez obtenida, hay que decidir qué tramo de cada lado se ve:

• En planta: de dos elementos que se cruzan, se ve el que tiene más cota.
• En alzado: se ve el que tiene más alejamiento.

Para decidirlo, toma el punto donde se cruzan dos aristas en una proyección, súbelo o bájalo a la otra proyección por la línea de referencia y compara cota o alejamiento. El elemento con más cota (en planta) o más alejamiento (en alzado) es el que se ve.

La recta de intersección en sí misma suele verse en el tramo donde los dos planos están delante de las demás partes del dibujo. Las partes de los planos que quedan detrás se dibujan con trazo discontinuo.

En el ejercicio resuelto de la figura hay dos planos definidos por triángulos. El procedimiento es el de este apunte: se eligen niveles horizontales, se obtienen las horizontales de cada plano en cada nivel, se cortan en planta para tener los puntos de la intersección, se suben al alzado y se unen. Al final, la visibilidad decide qué parte de cada triángulo queda tapada.

Compara después con el ejercicio de la intersección de una recta y un plano: usa el mismo razonamiento con un plano auxiliar proyectante. Y mira la recta de perfil y un plano para el caso en que el elemento no se ve en alzado ni en planta como recta normal.