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Distancia de un punto a un plano
Distancia de un punto a un plano paso a paso: perpendicular al plano, pie de la perpendicular con plano proyectante y verdadera magnitud por triángulo de cotas.
Paso 1 de 6 · Horizontal del plano
Con las flechas ← → cambias de paso · espacio reproduce · Inicio y Fin van al primero y al último
Cada paso se dibuja con el mismo método que en clase: ver la solución completa.
Pruébalo tú
Mueve los puntos del enunciado y mira cómo cambia la construcción. Es la mejor forma de entender el método: tocar el dibujo y ver qué pasa.
El enunciado (arrastra los puntos)
Al mover un punto en horizontal se mueven sus dos proyecciones (se conserva la línea de referencia).
La solución, recalculada
Con las flechas ← → cambias de paso · espacio reproduce · Inicio y Fin van al primero y al último
La distancia de un punto a un plano se mide sobre la perpendicular al plano que pasa por el punto. No vale cualquier segmento que acabe en el plano: el más corto es precisamente el perpendicular, y su extremo se llama pie de la perpendicular.
- Traza una horizontal y una frontal del plano, para tener las dos direcciones de referencia.
- Dibuja la recta perpendicular al plano por : su planta es perpendicular a y su alzado, perpendicular a .
- Busca el pie cortando con el plano mediante un plano proyectante que la contenga: la traza corta a dos rectas del plano en y , y la recta da ; sale por referencia.
- Mide el segmento en verdadera magnitud con el triángulo de cotas: sobre su planta se lleva y la hipotenusa es la distancia .
La distancia es la longitud del segmento en el espacio, no la de ninguna de sus dos proyecciones. Si el plano es proyectante, el pie sale casi solo: la perpendicular es paralela a la línea de tierra o perpendicular a ella, según el caso.
Qué se aprende
- La distancia mínima de un punto a un plano se mide sobre la perpendicular.
- La perpendicular al plano se apoya en una horizontal y una frontal del plano.
- El pie de la perpendicular es la intersección de esa recta con el plano.
- La distancia real se obtiene con el triángulo de cotas, nunca en la proyección.
El enunciado del ejemplo
Ejemplo · Distancia de un punto a un plano
Hallar la distancia del punto P al plano ABC.
Errores típicos
- Medir la distancia sobre la planta o sobre el alzado del segmento.
- Trazar la perpendicular a un lado del triángulo en vez de a las horizontales y frontales del plano.
- Tomar como pie un punto cualquiera del plano, sin que esté en la perpendicular.
- Olvidar que la distancia es perpendicular y medir hasta el borde dibujado del plano.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se mide la distancia de un punto a un plano?
- Se traza la perpendicular al plano por el punto, se halla su pie y se mide el segmento en verdadera magnitud. La perpendicular se apoya en una horizontal y una frontal del plano, que dan las direcciones en planta y alzado.
- ¿Por qué hay que hallar el pie de la perpendicular?
- Porque la distancia es el segmento entre el punto y el plano medido en perpendicular. Sin el pie no se sabe dónde acaba ese segmento y cualquier medida sería mayor que la distancia real.
- ¿Qué es el triángulo de cotas?
- Es el triángulo rectángulo que se construye sobre la proyección de un segmento: un cateto es la proyección y el otro, la diferencia de cota entre sus extremos. La hipotenusa es la longitud real del segmento.
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