Cambio de plano: plano proyectante, esfera y poliedros

En el cambio de plano vertical el plano horizontal se queda como está. La planta de cada punto no cambia, y su cota (la altura) tampoco: es la misma en el alzado de antes y en la vista nueva.

Por eso el procedimiento para llevar un punto $A$ a la vista nueva es siempre el mismo:

1. Desde la planta $a$, trazar la perpendicular a la nueva línea de tierra $LT_1$.
2. Sobre esa perpendicular, medir desde $LT_1$ la cota de $A$ (la distancia de $a'$ a la línea de tierra antigua, o a cualquier referencia común).
3. El punto obtenido es $a_1$, la proyección de $A$ en el plano nuevo.

En el método directo de clase no hay línea de tierra dibujada: basta con tomar las cotas respecto a un mismo punto de referencia (por ejemplo, el punto más bajo) en el alzado y en la vista nueva. Lo que importa son las diferencias de cota.

El cambio de plano horizontal es el mismo razonamiento al revés: el alzado no cambia y se conservan los alejamientos.

Este es el cambio de plano que más se usa. Se quiere que el plano $\alpha$ se vea como una recta en la vista nueva.

La clave: un plano se ve de canto cuando se mira en la dirección de sus rectas horizontales. Así que:

1. Busca una horizontal del plano. En alzado es una recta paralela a la referencia horizontal (todos sus puntos tienen la misma cota). Tómala por dos puntos del plano y llévala a planta: esa es $h$.
2. Dibuja la nueva línea de tierra $LT_1$ perpendicular a $h$, en una zona libre del papel. Elige el lado donde no haya nada dibujado: así la vista nueva no se mezcla con la planta ni con el alzado.
3. Lleva tres puntos del plano a la vista nueva con sus cotas. Quedan alineados: esa recta es el plano de canto. Si no quedan alineados, has medido mal alguna cota.

Comprobación rápida: toda la horizontal $h$ cae en un solo punto de la vista nueva, porque se mira de punta.

Aprovecha el papel. Antes de empezar, mira dónde hay hueco en la lámina. La vista nueva necesita sitio a un lado de la planta (en la dirección de $h$). Si $LT_1$ se coloca lejos del dibujo, las líneas de referencia son largas pero no se pisa nada, y eso es lo que se corrige.

Si además de verlo de canto quieres la figura en verdadera magnitud (por ejemplo, el cuadrado o el triángulo de un poliedro), haz un segundo cambio de plano:

1. Primer cambio: el plano de canto (apartado anterior).
2. Segundo cambio: una línea de tierra $LT_2$ paralela a la recta del plano de canto. Ahora se conservan las distancias del primer cambio (las medidas desde $LT_1$ hasta la planta).
3. En la vista nueva la figura sale en verdadera magnitud: ahí se construye el polígono con regla y compás.
4. Se deshace el camino: de la vista 2 a la 1 y de la 1 a la planta y al alzado, siempre con la distancia que se conservó en cada cambio.

Es la alternativa al abatimiento. Da el mismo resultado; elige la que te deje el dibujo más limpio en cada lámina.

Es el ejercicio tipo de la Práctica 20: una esfera de centro $O$ y radio $R$ y un plano $ABCD$; se pide la sección con sus partes vistas y ocultas.

Método limpio (un solo cambio de plano):

1. Horizontal del plano. En la lámina suele estar dada: $a'd'$ es horizontal en alzado. Llévala a planta: $ad$ es $h$.
2. $LT_1$ perpendicular a $h$, en el hueco del papel.
3. El plano se ve de canto: lleva $A$, $B$, $C$ y $D$ con sus cotas y quedan en una recta.
4. La esfera: lleva el centro $O$ con su cota; en la vista nueva la esfera es un círculo de radio $R$. Una esfera se ve igual desde todos los lados.
5. La sección en verdadera magnitud: la recta del plano corta al círculo en $m_1$ y $n_1$. El segmento $m_1n_1$ es el diámetro real de la circunferencia de sección, y su punto medio $s_1$ es su centro. Se cumple $\rho = \sqrt{R^2 - d^2}$, con $d$ la distancia de $o_1$ al plano.
6. Vuelta a la planta: lleva $s_1$, $m_1$ y $n_1$ por sus líneas de referencia (paralelas a $h$) hasta la recta que pasa por $o$ perpendicular a $h$. Salen $s$, $m$ y $n$.
   • Eje mayor: paralelo a $h$, centrado en $s$, de longitud $m_1n_1$. El diámetro horizontal de la sección no se acorta en planta.
   • Eje menor: $mn$.
   • Con los dos ejes se dibuja la elipse (por afinidad, o con el método de los 4 centros si se admite).
7. Vuelta al alzado: sube $s$, $m$, $n$ y los extremos del eje mayor con sus cotas (las de la vista nueva). Las proyecciones del diámetro horizontal y del de máxima pendiente son diámetros conjugados de la elipse del alzado.
8. Visibilidad: en planta se ve el trozo de elipse por encima del ecuador (más cota que $O$); en alzado, el trozo por delante del meridiano frontal (más alejamiento que $O$). El cambio de vista a oculta está donde la elipse toca al contorno de la esfera.

Lo que no hay que hacer: abatir el plano para dibujar la circunferencia. Funciona, pero llena la lámina de puntos (1), (2), (3)… y es donde más se pierde la gente.

Para cortar una recta $r$ con la esfera se mete la recta en un plano proyectante (por ejemplo, el vertical que la contiene). Ese plano corta a la esfera en una circunferencia; con un cambio de plano (nueva $LT$ paralela a la planta de $r$) esa circunferencia y la recta se ven en verdadera magnitud, y sus cortes $i_1$, $i_2$ son los puntos de entrada y salida. Se devuelven a planta y alzado por las líneas de referencia.

Visibilidad: el tramo de dentro de la esfera no se dibuja; fuera, un tramo se oculta si su proyección cae dentro del contorno y pasa por detrás (alzado) o por debajo (planta).

Los tres que caen son el tetraedro, el octaedro y el hexaedro (cubo). En todos el esquema es el mismo:

1. Una cara o una arista conocida, casi siempre en un plano oblicuo. Ponla en verdadera magnitud (cambio de plano o abatimiento) y construye allí el polígono: triángulo equilátero o cuadrado.
2. La altura o la arista perpendicular. En la vista donde el plano está de canto, la perpendicular al plano se ve en verdadera magnitud y se mide directamente.
   • Tetraedro de arista $a$: altura $h = a\sqrt{2/3} \approx 0{,}816\,a$, sobre el baricentro de la base.
   • Octaedro: los dos vértices opuestos están en la perpendicular por el centro del cuadrado, a $\dfrac{a}{\sqrt{2}}$ de él.
   • Hexaedro: las aristas laterales miden $a$ y son perpendiculares a la cara.
3. Vuelta a planta y alzado con las distancias que se conservan.
4. Visibilidad: el contorno siempre se ve. Para cada arista interior, mira el vértice más alto (planta) o el más adelantado (alzado): las aristas que llegan a él se ven.

Tetraedro dado por dos aristas opuestas (Práctica 16): las dos aristas son perpendiculares y su distancia es $a/\sqrt{2}$. Un plano paralelo a las dos a mitad de distancia corta al tetraedro en un cuadrado de lado $a/2$.

Toda construcción en verdadera magnitud termina igual: hay que devolver los puntos a la planta y al alzado. Es lo que más se olvida, y sin ello el ejercicio no está acabado.

Deshacer un cambio de plano (vista 1 → planta y alzado):

1. Desde cada punto $p_1$ de la vista nueva, vuelve a la planta por su línea de referencia (perpendicular a $LT_1$) hasta el elemento al que pertenece: la recta por $o$ perpendicular a $h$ en la esfera, la arista correspondiente en un poliedro…
2. Desde la planta, sube al alzado por la línea de referencia de siempre y lleva la cota que el punto tiene en la vista nueva (su distancia a $LT_1$).
3. Si hubo dos cambios, se deshacen en orden inverso: de la vista 2 a la 1 (conservando la distancia a $LT_1$) y de la 1 a planta y alzado.

Desabatir (punto abatido → planta y alzado):

1. Desde cada punto abatido $(A)$, traza la perpendicular a la charnela: la planta $a$ está en ella.
2. Para saber dónde, usa una recta del plano que pase por $(A)$. Lo más rápido es la afinidad: la recta $(A)(B)$ y la recta $ab$ se cortan sobre la charnela. Con un punto ya desabatido, cada uno nuevo sale prolongando su recta abatida hasta la charnela y uniendo con la planta conocida.
3. Sube $a$ al alzado por su línea de referencia hasta una recta del plano que pase por $A$ (la horizontal o la frontal del plano por ese punto).

Comprobación: todas las rectas $(A)a$, $(B)b$… son paralelas entre sí y perpendiculares a la charnela. Si alguna no lo es, ese punto está mal.