Poliedros regulares en diédrico: tetraedro, hexaedro y octaedro

Con arista $a$:

Cómo obtenerlas gráficamente (sin calculadora):

• Altura del tetraedro: triángulo rectángulo con hipotenusa $a$ (arista lateral) y un cateto igual a la distancia del baricentro de la base a un vértice ($a/\sqrt{3}$, dos tercios de la altura del triángulo de la base). El otro cateto es la altura.
• Diagonal del cubo: rectángulo de lados $a$ y $a\sqrt{2}$ (arista y diagonal de cara); su diagonal es $a\sqrt{3}$.
• Distancia entre aristas opuestas del tetraedro: es la diagonal de un cuadrado de lado $a/2$, o el lado de un cuadrado de diagonal $a$.

Apoyado en un plano por una cara (base $ABC$ en un plano oblicuo):

1. Pon el plano de canto con un cambio de plano (o abátelo) y construye el triángulo equilátero de la base en verdadera magnitud.
2. Halla su baricentro $G$ (corte de las medianas).
3. En la vista donde el plano está de canto, la perpendicular por $G$ se ve en verdadera magnitud: lleva sobre ella la altura $0{,}816\,a$ y obtienes el vértice $D$.
4. Vuelve a planta y alzado.

Dado por dos aristas opuestas $r$ y $s$ (Práctica 16): las aristas opuestas son perpendiculares y su perpendicular común une sus puntos medios y mide $a/\sqrt{2}$.

1. Plano $\alpha$ que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.
2. Primer cambio de plano: $\alpha$ de canto. La distancia entre $r$ y $s$ se ve directa; $a = d\sqrt{2}$.
3. Segundo cambio de plano, paralelo a $\alpha$: $r$ y $s$ se cruzan en verdadera magnitud en $P \equiv Q$. Se lleva $a/2$ a cada lado.

Sección por el plano medio (paralelo a las dos aristas, a mitad de distancia): un cuadrado de lado $a/2$, con vértices en los puntos medios de las otras cuatro aristas.

Apoyado en un plano por una cara: construye el cuadrado de la base en verdadera magnitud (cambio de plano o abatimiento). Las aristas laterales son perpendiculares al plano y miden $a$: se llevan en la vista donde el plano está de canto.

Con una diagonal del sólido vertical: la planta es un hexágono regular. Los vértices están en tres niveles: el de abajo, tres a $1/3$ de la diagonal, tres a $2/3$ y el de arriba (las alturas $0$, $a\sqrt{3}/3$, $2a\sqrt{3}/3$ y $a\sqrt{3}$).

Dada la cara $EBG$ (Práctica 19, el triángulo equilátero formado por tres diagonales de cara): su lado es $a\sqrt{2}$, así que $a$ es el lado del cuadrado cuya diagonal es el lado del triángulo. La diagonal del cubo que pasa por el vértice libre es perpendicular a esa cara por su baricentro.

Secciones principales del cubo:

• Plano perpendicular a una diagonal por su punto medio: hexágono regular de lado $a\sqrt{2}/2$.
• Plano por tres vértices que forman un triángulo de diagonales de cara: triángulo equilátero de lado $a\sqrt{2}$.
• Plano por dos aristas opuestas: rectángulo de lados $a$ y $a\sqrt{2}$.

El octaedro es dos pirámides de base cuadrada unidas por la base. Ese cuadrado (el «ecuador») tiene lado $a$ y los dos vértices libres están en la perpendicular por su centro, a la distancia de la semidiagonal: $a/\sqrt{2}$.

Dado el cuadrado ecuatorial en un plano (Práctica 18):

1. Completa el cuadrado en verdadera magnitud (ángulo recto, abatimiento o cambio de plano).
2. Centro $O$: corte de las diagonales.
3. Con el plano del cuadrado de canto, la perpendicular por $O$ en verdadera magnitud: lleva la semidiagonal a cada lado → $E$ y $F$.
4. Une $E$ y $F$ con los cuatro vértices.

Apoyado en una cara: las caras opuestas son paralelas y están a $a\sqrt{2/3}$; la planta es un hexágono (no regular en general; regular si la cara de apoyo es horizontal) con un triángulo encima y otro debajo girados $180°$.

Sección por el plano ecuatorial: el cuadrado de lado $a$. Sección paralela a dos caras opuestas por el centro: hexágono regular de lado $a/2$.

Reglas que funcionan siempre en poliedros convexos:

1. El contorno aparente de cada proyección siempre se ve.
2. Una arista interior se ve si alguna de sus dos caras mira al observador.
3. Atajo con vértices: en planta, el vértice de mayor cota que cae dentro del contorno tiene todas sus aristas vistas; el de menor cota, ocultas. En alzado, igual con el alejamiento (el más adelantado, visto).
4. Si dos aristas se cruzan en una proyección, la que se ve es la que está más alta (planta) o más adelante (alzado) en ese punto: compruébalo en la otra proyección.

1. Lee qué te dan: una cara, una arista, una diagonal, dos aristas opuestas…
2. Decide la medida clave (tabla del apartado 1) y si la puedes sacar gráficamente.
3. Un cambio de plano que deje de canto la cara o el plano de apoyo, colocado en el hueco del papel.
4. Construye en verdadera magnitud lo que haga falta (polígono de la base, perpendicular, distancias) y devuelve los puntos a planta y alzado.
5. Visibilidad y repaso: contorno grueso, ocultas discontinuas, todos los vértices nombrados.