Cambio de plano en el sistema diédrico

Hay dos tipos de cambio, y la regla de qué se conserva es lo único que hay que memorizar:

• Cambio de plano vertical (se sustituye el alzado). El plano horizontal no se toca: la planta de todos los elementos es la misma, y las cotas también. Se conservan las cotas.
• Cambio de plano horizontal (se sustituye la planta). El plano vertical no se toca: el alzado de todos los elementos es el mismo, y los alejamientos también. Se conservan los alejamientos.

Para llevar un punto $A$ a la vista nueva en un cambio de plano vertical:

1. Dibuja la nueva línea de tierra $LT_1$ (más abajo veremos cómo elegirla).
2. Desde la planta $a$, traza la perpendicular a $LT_1$.
3. Sobre ella, mide desde $LT_1$ la cota de $A$ (la misma que tenía en el alzado antiguo). Ese es $a_1$.

En un cambio de plano horizontal, el razonamiento es el mismo intercambiando papeles: se parte del alzado $a'$, se traza la perpendicular a la línea de tierra nueva y se lleva el alejamiento.

La línea de tierra nueva no es arbitraria: se coloca para conseguir algo.

• Para ver una recta en verdadera magnitud: $LT_1$ paralela a la planta $ab$ de la recta (en un cambio de plano vertical). En la vista nueva la recta es paralela a la línea de tierra y se ve en VM.
• Para ver una recta de punta (un solo punto): primero hay que verla en VM y después hacer un segundo cambio con la línea de tierra perpendicular a la recta ya vista en verdadera magnitud. (Si la recta ya es horizontal o frontal, basta un cambio.)
• Para poner un plano de canto: $LT_1$ perpendicular a una horizontal del plano. Todo el plano se proyecta en una recta.

Además, hay una cuestión práctica: dónde. Coloca la línea de tierra nueva en un lado de la lámina donde haya sitio, fuera de las vistas que ya tienes, porque las perpendiculares y las cotas llevadas van a ocupar espacio. Una línea de tierra mal situada hace que la vista nueva pise la planta y el dibujo se vuelve ilegible.

Cuanto más lejos esté $LT_1$ de la planta, más sitio hay, pero más largas son las perpendiculares y mayor el riesgo de error al medir. Un punto medio: a unos 3-4 cm del dibujo.

Una recta se transforma llevando dos puntos suyos. Para una recta $r$ con puntos $A$ y $B$:

1. Se llevan $A$ y $B$ a la vista nueva ($a_1$ y $b_1$) con el procedimiento del apartado 1.
2. La recta $r_1$ es la que une $a_1$ y $b_1$.

Tres casos que se resuelven así:

• Recta en verdadera magnitud: $LT_1$ paralela a $ab$. Entonces $a_1b_1$ mide lo que mide la recta, y el ángulo que forma con $LT_1$ es el ángulo de la recta con el plano horizontal.
• Recta de punta: dos cambios. El primero la deja en VM ($LT_1$ paralela a $ab$) y el segundo, con $LT_2$ perpendicular a $a_1b_1$, la proyecta en un solo punto: $a_2$ y $b_2$ coinciden.
• Distancia de un punto a una recta: se pone la recta de punta con esos dos cambios. En la vista última la recta es un punto y la distancia es el segmento entre ese punto y el punto dado, que se ve en VM porque es perpendicular a la recta.

Comprueba siempre el resultado con un tercer punto de la recta: debe caer alineado con $a_1$ y $b_1$.

Este es el cambio que más se usa. Para ver un plano $\alpha$ de canto (como una recta):

1. Busca una horizontal del plano (en alzado, una recta horizontal que corte a dos de sus rectas; bájala a planta).
2. Traza la línea de tierra $LT_1$ perpendicular a esa horizontal, en una zona libre.
3. Lleva tres puntos del plano a la vista nueva con sus cotas.

Los tres puntos quedan alineados: la recta que forman es el plano de canto. Toda la horizontal elegida se proyecta en un solo punto, porque se mira de punta. La inclinación de esa recta respecto a $LT_1$ es el ángulo del plano con el plano horizontal.

Si no quedan alineados, has medido mal alguna cota: es la mejor comprobación del método, y se ve a simple vista. Ya con el plano de canto se pueden resolver, sin más dibujo, la distancia de un punto al plano, la intersección con una recta (el punto donde la recta corta a la línea del plano) o la intersección con otro plano.

Un solo cambio pone un plano de canto, pero la figura contenida en él sigue vista de lado. Para verla en verdadera magnitud hace falta un segundo cambio:

1. Parte de la vista del primer cambio (el plano de canto).
2. Traza $LT_2$ paralela a la recta del plano de canto.
3. Lleva los puntos a la vista 2 conservando, esta vez, las distancias de la planta a $LT_1$ (las que tenía cada punto en el primer cambio).

En la vista 2 el plano es paralelo a la proyección y la figura aparece en VM. Se construye allí lo que pida el ejercicio y se deshace el camino: de la vista 2 a la 1 y de la 1 a la planta y al alzado, con la medida que se conservó en cada cambio.

Ten presente el orden de lo que se conserva: en el segundo cambio se conservan las medidas que no se conservaron en el primero. Si el primero fue de plano vertical (se conservan cotas), el segundo es de plano horizontal respecto a la vista anterior y se conservan las distancias a $LT_1$.

Estas son las comprobaciones que se pueden hacer sobre el propio dibujo, sin cálculos:

• Alineación: tres puntos de una recta o de un plano de canto deben quedar alineados.
• Perpendicularidad: las líneas de referencia entre una vista y la siguiente son perpendiculares a la línea de tierra que las separa. Si una se tuerce, la cota se mide mal.
• Distancias conservadas: la distancia de un punto a la línea de tierra nueva tiene que ser igual a su cota (en el cambio vertical) en la vista antigua.
• Verdadera magnitud coherente: un segmento en VM mide lo mismo que da el triángulo de cotas.

Para presentar: rotula las vistas nuevas con subíndices ($a_1$, $b_1$), deja la línea de tierra nueva con su trazo y punto y no borres las perpendiculares. Si hay varios cambios, numéralos en orden ($LT_1$, $LT_2$). Una lámina clara se puede corregir más rápido, y un corrector tiende a puntuar mejor lo que entiende de un vistazo.

En el ejercicio resuelto de la figura hay una recta de perfil $r$ (todos sus puntos tienen la misma $x$, así que en planta y en alzado se ve como dos segmentos verticales) y un plano $ABC$, y se pide su intersección. Con las dos proyecciones habituales no se puede leer el punto, porque la recta de perfil no da información de dónde corta; el cambio de plano lo resuelve en tres pasos:

1. Cambio a un plano de perfil. Se proyecta sobre una vista lateral: en ella la recta $r$ aparece como una recta normal, no como un segmento ambiguo.
2. Traza del plano $ABC$ en el perfil. El plano de perfil que contiene a $r$ corta al plano $ABC$ en una recta; en la vista lateral es la traza $ABC''$. La intersección tiene que estar en ella, porque todos los puntos de $r$ están en ese plano de perfil.
3. Resultado. El punto $I$ donde $r$ corta a esa traza es el punto buscado; se devuelve a planta y alzado con las coordenadas conservadas.

Compara con la esfera con cambio de plano, donde el mismo razonamiento (un plano que se ve de canto) da el diámetro real de la sección, y con el ejercicio de distancia de un punto a un plano.