Abatimiento en el sistema diédrico

Hay tres maneras de ver una figura plana en verdadera magnitud, y conviene elegir bien porque cada una deja un dibujo distinto:

Regla práctica: si el ejercicio solo te pide construir una figura dentro de un plano, abate. Si te pide además cortar, medir distancias o trabajar con un sólido, un cambio de plano suele dejar la lámina más limpia. Las dos herramientas están relacionadas, y en el apunte de cambio de plano puedes ver la otra cara.

La charnela es la recta alrededor de la cual gira el plano. Cualquier recta del plano sirve, pero la mejor elección es una horizontal, porque:

• En planta es la recta que vemos tal cual, sin deformar.
• Todos sus puntos tienen la misma cota: al girar el plano alrededor de ella, el plano abatido queda a esa cota, y las diferencias de cota se miden a partir de ella.
• Las perpendiculares a la charnela, en planta, son justo las trayectorias de los puntos al girar.

Para obtener una horizontal del plano:

1. En alzado, traza una recta horizontal (paralela a la referencia) que corte a dos rectas del plano, por ejemplo a dos lados del triángulo que lo define.
2. Baja los dos puntos de corte a la planta, cada uno sobre su recta.
3. La recta que los une es la horizontal $h$ (en alzado $h'$ es horizontal; en planta, oblicua).

Si el plano ya trae una horizontal dibujada (por ejemplo, un lado horizontal de la figura), úsala directamente: ahorras un paso. Y si la figura que tienes que construir tiene un vértice o un lado sobre la horizontal, la figura abatida arranca de esos puntos, que no se mueven.

Un punto de la charnela no se mueve: su abatido coincide con su planta. Para cualquier otro punto $A$ del plano:

1. Desde la planta $a$, traza la perpendicular a la charnela $h$. Esa recta es el camino que recorre el punto al girar, vista desde arriba. Llama $m$ al pie de la perpendicular sobre $h$.
2. Mide la diferencia de cota entre $A$ y la charnela. Se saca del alzado: es la distancia vertical entre $a'$ y $h'$.
3. Construye el triángulo de cotas sobre $m$: un cateto es la distancia $ma$ (que se ve en planta) y el otro es esa diferencia de cota. La hipotenusa es la distancia real entre $A$ y el pie $m$, el radio de giro.
4. Con centro en $m$ y radio la hipotenusa, lleva un arco sobre la perpendicular hasta el lado donde vas a abatir. Ese es el punto abatido $(A)$.

Fíjate en que $m$, $a$ y $(A)$ están alineados sobre la perpendicular. Y que el abatimiento puede hacerse hacia cualquiera de los dos lados de la charnela: elige el lado donde haya sitio libre en el papel, porque la figura abatida va a ocupar espacio. Una buena costumbre es abatir hacia fuera de las vistas que ya tienes dibujadas.

Una vez abatido un punto, los demás se obtienen sin repetir el triángulo de cotas, porque la figura de la planta y la figura abatida son afines. En una afinidad ortogonal:

• El eje de afinidad es la charnela.
• La dirección de afinidad es la perpendicular a la charnela.
• Los puntos de la charnela son dobles (no se mueven).
• Una recta y su afín se cortan en el eje (en un punto doble).

El procedimiento para un segundo punto $B$ es:

1. Prolonga la recta $ab$ hasta cortar a la charnela en un punto $P$ (punto doble).
2. Une $P$ con el abatido $(A)$: esa es la recta abatida $(AB)$.
3. Por $b$, traza la perpendicular a $h$ y corta con $(AB)$: ahí está $(B)$.

Con dos puntos abatidos y esta regla, el resto de la figura sale rápido. Si la recta $ab$ es paralela a la charnela, no corta en ningún punto: entonces la recta abatida es también paralela a la charnela y la distancia entre ambas se conserva.

Una circunferencia contenida en el plano inclinado se ve como una elipse en planta y, abatida, vuelve a ser una circunferencia. Por eso, para una circunferencia, se abate el centro y el radio real se lleva directamente en el abatido.

Con el plano abatido empieza el dibujo geométrico de siempre. Lo importante es qué datos conservas del enunciado:

• Si te dan un lado de la figura (por ejemplo, un lado del cuadrado sobre una recta del plano), llévalo al abatido y construye con regla y compás: el cuadrado sobre ese lado, el triángulo equilátero con ese lado como base.
• Si te dan el centro y el radio (un taladro, una circunferencia), abate el centro y traza la circunferencia con el radio real.
• Si te dan una condición de posición (el cuadrado tiene un vértice en un punto, otro lado es paralelo a una horizontal), esa condición se traduce a una condición en el abatido: las paralelas siguen siendo paralelas y las horizontales abatidas siguen siendo paralelas a la charnela.

Un dato que ayuda: en el abatimiento sobre una horizontal, todas las horizontales del plano abaten a rectas paralelas a la charnela. Si el enunciado dice «un lado del cuadrado es horizontal», ese lado queda paralelo a $h$ en el abatido sin hacer ninguna cuenta.

Cuando termines la construcción, comprueba: la figura abatida tiene que tener las medidas del enunciado (lados iguales, ángulos rectos). Si no las tiene, el error está casi siempre en una cota mal leída del alzado.

Desabatir es el camino inverso, y es lo que da la solución del ejercicio: las proyecciones de la figura sobre el plano inclinado. Para cada vértice $(D)$ del abatido:

1. Perpendicular a la charnela por $(D)$: sobre ella estará la planta $d$.
2. Afinidad: la recta abatida $(D)(E)$ de un lado se corta con la charnela en un punto doble; unido a $e$ da la dirección de la recta en planta. La intersección de esa recta con la perpendicular del paso anterior es $d$.
3. Alzado: $d'$ se obtiene subiendo $d$ por su línea de referencia hasta cortar a una recta del plano que pase por el punto (por ejemplo una horizontal por $D$, cuya cota ya conoces).

Atajo que ahorra mucho dibujo: el paralelismo se conserva en proyección. En un cuadrado o un rectángulo basta desabatir uno de los vértices (por ejemplo $D$); el cuarto vértice sale con paralelas a los lados ya conocidos, tanto en planta como en alzado. Y es también la mejor comprobación: los lados opuestos tienen que quedar paralelos en las dos proyecciones.

En algunos ejercicios hay que calcular después la proyección de un sólido apoyado en la figura (un prisma, un pilar). Eso ya no es abatimiento: se levanta la altura perpendicular al plano, que en planta es perpendicular a las horizontales del plano y en alzado, a las frontales.

Terminada la construcción, queda decidir qué se ve. La figura contenida en el plano está delante o detrás de las aristas del propio plano o de otros elementos:

• En planta se ve lo que tiene más cota.
• En alzado se ve lo que tiene más alejamiento (más cerca del observador).

Lo que se ve, en trazo continuo; lo que queda oculto, discontinuo. Las construcciones auxiliares (perpendiculares, arcos, la charnela) van en trazo fino, y la figura solución en trazo grueso.

Para presentar: rotula los puntos como en la lámina ($a$, $a'$, $(A)$), deja visibles los arcos de los radios de giro (el corrector quiere ver el método) y no borres las líneas de referencia. Y si el plano abatido se solapa con otra vista, vuelve a elegir el lado del abatimiento antes de seguir: es más rápido que arreglarlo después.

El ejercicio resuelto de la figura pide la base cuadrada de un pilar contenida en el plano que pasa por tres puntos $A$, $B$ y $P$, con $AB$ como lado del cuadrado. El recorrido es exactamente el de este apunte:

1. Se halla la horizontal del plano por $B$ y se toma como charnela.
2. Se abate $A$ sobre ella con el triángulo de cotas.
3. Se construye el cuadrado en verdadera magnitud sobre el lado abatido $(A)(B)$.
4. Se desabate un vértice, $D$, por afinidad.
5. El otro vértice, $C$, sale por paralelas, primero en planta y después en alzado.
6. Se dibuja la visibilidad.

Recórrelo paso a paso en la figura y repítelo después con tus propios datos. También tienes en el resto de ejercicios del tema el triángulo equilátero contenido en un plano y el taladro en una chapa, que usan el mismo método con otra figura.