Tangencias y enlaces: método y casos de Selectividad

Por un punto $T$ de la circunferencia: perpendicular al radio $OT$ por $T$.

Desde un punto exterior $P$:

1. Une $P$ con el centro $O$ y halla el punto medio $M$ de $OP$ (mediatriz).
2. Arco de centro $M$ y radio $MO$: corta a la circunferencia en $T_1$ y $T_2$ (arco capaz de 90°).
3. $PT_1$ y $PT_2$ son las tangentes.

Paralelas a una dirección: perpendicular a la dirección por $O$; corta a la circunferencia en los puntos de tangencia.

Se reduce el problema a uno de punto y circunferencia (reducción de radios).

Tangentes exteriores (radios $R > r$):

1. Circunferencia auxiliar de centro $O_1$ y radio $R - r$.
2. Tangentes desde $O_2$ a esa auxiliar (método del punto medio).
3. Los radios por los puntos obtenidos, prolongados, dan los puntos de tangencia en la grande; por $O_2$, paralelas a esos radios dan los de la pequeña.

Tangentes interiores: igual, con la auxiliar de radio $R + r$.

Un enlace es unir líneas con arcos tangentes, sin picos (perfiles de piezas, ganchos, levas).

• Enlazar dos rectas con un arco de radio $r$: paralelas a las dos rectas a distancia $r$; donde se cortan está el centro. Los puntos de tangencia son los pies de las perpendiculares desde el centro a cada recta.
• Enlazar una recta y una circunferencia (radio $R$) con un arco de radio $r$: paralela a la recta a distancia $r$ y circunferencia concéntrica de radio $R + r$ (enlace exterior) o $R - r$ (interior). El corte es el centro.
• Enlazar dos circunferencias: concéntricas de radios $R_1 + r$ y $R_2 + r$ (o con restas, según el enlace). El corte es el centro; los puntos de tangencia están en las rectas que unen centros.

Orden de trabajo: primero centros, después puntos de tangencia, y por último los arcos, siempre de tangencia a tangencia.

Tangente a una recta en un punto $T$ y que pasa por otro punto $P$: el centro está en la perpendicular a la recta por $T$ y en la mediatriz de $TP$.

Tangente a dos rectas que se cortan, con radio dado: bisectriz del ángulo y paralela a una recta a distancia $r$.

Tangente a dos rectas y que pasa por un punto $P$: se resuelve por homotecia: se dibuja cualquier circunferencia tangente a las dos rectas (centro en la bisectriz), se une el vértice con $P$ y se lleva la solución por semejanza. Hay dos soluciones.

Tangente a una circunferencia en un punto $T$ y que pasa por $P$: el centro está en la recta $OT$ y en la mediatriz de $TP$.

La potencia de un punto $P$ respecto a una circunferencia es $PT^2$, siendo $PT$ la tangente desde $P$. Si una recta por $P$ corta a la circunferencia en $A$ y $B$, se cumple $PA \cdot PB = PT^2$.

• Eje radical de dos circunferencias: lugar de puntos con la misma potencia respecto a las dos. Es una recta perpendicular a la línea de centros. Si se cortan, es la recta por los dos puntos de corte.
• Para dos circunferencias que no se cortan: una auxiliar que corte a las dos; los ejes radicales parciales se cortan en un punto del eje buscado.
• Centro radical de tres circunferencias: donde se cortan sus tres ejes radicales.

Sirve para los casos de Apolonio más difíciles: circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta o a otra circunferencia.

Pasa por dos puntos $A$ y $B$ y es tangente a una recta $r$:

1. La recta $AB$ corta a $r$ en el punto $P$ (centro radical).
2. La potencia de $P$ es $PA \cdot PB$; su raíz se obtiene con la media proporcional: semicircunferencia de diámetro $PA + PB$ (o con una circunferencia auxiliar por $A$ y $B$ y la tangente desde $P$).
3. Se lleva esa longitud $PT$ sobre $r$ a cada lado de $P$: $T_1$ y $T_2$ son los puntos de tangencia.
4. Centros: perpendicular a $r$ por cada $T$ y mediatriz de $AB$.

Tangente a una recta y a una circunferencia en un punto dado de la recta: perpendicular por el punto, se lleva el radio de la circunferencia a un lado y otro, y la mediatriz entre ese punto y el centro de la circunferencia corta a la perpendicular en el centro buscado.