Problemas de Apolonio: circunferencias tangentes

Llamamos P a un punto, R a una recta y C a una circunferencia. Los diez casos son las combinaciones de tres elementos:

En Bachillerato y Selectividad caen sobre todo los casos PPR, RRP, RRR y las versiones con radio dado, que son mucho más fáciles porque el radio fija la distancia a cada elemento. Los que incluyen dos o tres circunferencias (CCP, CCR, CCC) son los más laboriosos en su versión general y suelen pedirse con el radio conocido; consulta el temario y los exámenes de tu comunidad para saber hasta dónde llegan.

Todo ejercicio de tangencias se apoya en tres propiedades. Conviene saberlas casi de memoria:

1. Tangente y radio. La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Con ella, desde un punto exterior se trazan las dos tangentes (la circunferencia de diámetro $OP$ corta a la dada en los puntos de tangencia).
2. Centros alineados. Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la recta que une sus centros. Si son tangentes exteriores, los centros están a distancia $R + r$; si son tangentes interiores, a distancia $|R - r|$.
3. Centro equidistante. Si una circunferencia es tangente a dos rectas, su centro equidista de ellas y está en una bisectriz. Si pasa por dos puntos, está en su mediatriz.

De la segunda se obtiene el truco más útil para los ejercicios con radio dado: para que una circunferencia de radio $r$ sea tangente a otra de centro $O$ y radio $R$, su centro está en una circunferencia concéntrica de radio $R + r$ (si la tangencia es exterior) o $|R - r|$ (si es interior). Y para ser tangente a una recta, su centro está en una paralela a la recta a distancia $r$.

Si el radio $r$ viene dado, el problema se reduce a una intersección de dos lugares geométricos, que es lo que se hace en los ejercicios resueltos de la web:

• Tangente a una recta y a una circunferencia. El centro está en la paralela a la recta a distancia $r$ y en la circunferencia concéntrica de radio $R \pm r$. Donde se cortan están los centros posibles (hasta cuatro soluciones, según los lados y los tipos de tangencia).
• Tangente a dos rectas que se cortan. El centro está en las dos paralelas a cada recta a distancia $r$: se cortan en cuatro puntos (en las bisectrices).
• Tangente a dos circunferencias. El centro está en la intersección de dos circunferencias concéntricas a las dadas, de radios $R_1 \pm r$ y $R_2 \pm r$.

Los puntos de tangencia se hallan a posteriori: con la recta, es el pie de la perpendicular desde el centro; con una circunferencia, es la intersección de la recta de centros con la circunferencia dada.

El método es muy mecánico y por eso es el favorito de los enunciados: siempre se obtienen los mismos tres trazados (paralela, circunferencia concéntrica y puntos de tangencia). Recorre los ejercicios resueltos de circunferencia tangente a una recta y a una circunferencia y a dos circunferencias de radio dado.

Hay que hallar las circunferencias tangentes a dos rectas $r$ y $s$ que pasan por un punto $P$. Es el caso RRP, que en la web aparece como el ejercicio de Apolonio «LLP».

Idea: el centro está en la bisectriz de las rectas. Si la circunferencia pasa por $P$, también pasa por su simétrico $P'$ respecto a la bisectriz (porque la figura es simétrica). Así el problema se reduce a un caso conocido: circunferencias por dos puntos $P$ y $P'$ y tangentes a una recta (PPR, siguiente apartado).

Procedimiento:

1. Traza la bisectriz $b$ de las dos rectas (la del ángulo en el que está $P$).
2. Halla el simétrico $P'$ de $P$ respecto a $b$.
3. La recta $PP'$ corta a una de las rectas, $r$, en un punto $Q$.
4. Los puntos de tangencia $T$ sobre $r$ cumplen $QT^2 = QP \cdot QP'$ (potencia del punto $Q$). Se construye con el teorema de la altura o con una semicircunferencia.
5. Por cada $T$ se levanta la perpendicular a $r$ y donde corta a la bisectriz está el centro $O$.
6. Se traza la circunferencia de centro $O$ y radio $OT$.

Salen dos soluciones, una a cada lado. Es el procedimiento exacto del ejercicio resuelto de la figura: recórrelo con la construcción interactiva.

Ahora se piden las circunferencias que pasan por dos puntos $P_1$ y $P_2$ y son tangentes a una recta $r$. Es el caso más frecuente, y el que se explica con potencia.

Idea: el centro está en la mediatriz de $P_1P_2$. Y el punto de tangencia $T$ con la recta $r$ se halla con la potencia de un punto de la recta.

Procedimiento:

1. Traza la recta $P_1P_2$ y halla su intersección $Q$ con $r$.
2. Todas las circunferencias que pasan por $P_1$ y $P_2$ tienen en $Q$ la misma potencia, igual a $QP_1 \cdot QP_2$. Para que la circunferencia sea tangente a $r$, esa potencia tiene que ser $QT^2$.
3. Construye $QT = \sqrt{QP_1 \cdot QP_2}$ (con el teorema de la altura: una semicircunferencia de diámetro $QP_1 + QP_2$ y el trozo de perpendicular). Lleva esa medida a ambos lados de $Q$ sobre $r$: salen dos puntos de tangencia $T_1$ y $T_2$.
4. Por cada $T$, la perpendicular a $r$ corta a la mediatriz en el centro.
5. Traza las dos circunferencias.

Casos particulares: si $P_1P_2$ es paralela a $r$, no hay punto $Q$ y el punto de tangencia está justo debajo del punto medio: la mediatriz es perpendicular a $r$, y su pie sobre $r$ es $T$ (una sola solución). Si uno de los puntos está sobre la recta, el punto de tangencia es ese punto y hay una sola solución. Y si los puntos quedan a distinto lado de la recta, no hay ninguna.

Los dos casos anteriores usan la misma herramienta: la potencia de un punto respecto a una circunferencia.

• La potencia de un punto $P$ respecto a una circunferencia de centro $O$ y radio $R$ es $OP^2 - R^2$. Si $P$ está fuera, vale $PT^2$, siendo $PT$ el segmento tangente; y si una recta por $P$ corta a la circunferencia en $A$ y $B$, vale $PA \cdot PB$.
• El eje radical de dos circunferencias es el lugar de los puntos con igual potencia respecto a las dos: es una recta perpendicular a la recta de centros. Si las circunferencias se cortan, pasa por los dos puntos de corte; si son tangentes, es la tangente común en el punto de tangencia.
• El centro radical de tres circunferencias es el punto donde se cortan los tres ejes radicales (dos a dos). Tiene la misma potencia respecto a las tres.

Uso en tangencias: desde un punto del eje radical se pueden trazar tangentes de igual longitud a las dos circunferencias, y esa igualdad de potencias es la que explica los casos con dos circunferencias. Es lo que conecta con el apunte de tangencias y el ejercicio del eje radical de dos circunferencias.

Antes de los problemas de Apolonio hay que tener fluidos los casos de rectas tangentes, que se usan como paso intermedio:

• Tangentes desde un punto exterior a una circunferencia: se traza la circunferencia de diámetro $OP$ y los puntos donde corta a la dada son los de tangencia (el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto).
• Tangentes exteriores a dos circunferencias: se traza una circunferencia concéntrica de radio $R - r$ y desde el centro de la menor se trazan tangentes a ella; luego se trasladan paralelamente.
• Tangentes interiores: igual con radio $R + r$.

Y los enlaces: el empalme de dos rectas con un arco, de una recta con una circunferencia, de dos circunferencias por un arco de radio dado. Son los casos de «radio dado» con el centro en una paralela o en una circunferencia concéntrica, como en el apartado 3.

En el examen cuesta menos puntuar con un ejercicio de Apolonio si todo lo anterior está en su sitio: los casos de base se sabe hacer sin mirar y, entonces, el Apolonio es un orden de pasos y no una invención.

La corrección de un ejercicio de tangencias es muy visual: se comprueba que el resultado toca donde debe y que el método se ve. Un esquema de presentación que funciona:

1. Datos en trazo medio (los puntos, rectas y circunferencias del enunciado).
2. Líneas auxiliares en trazo fino: mediatrices, bisectrices, paralelas, circunferencias concéntricas, la recta $PP'$.
3. Puntos de tangencia marcados con un punto y rotulados ($T_1$, $T_2$) y los centros con una cruz ($O_1$, $O_2$).
4. La solución en trazo grueso: las circunferencias o los arcos que se piden. Si hay varias soluciones, trázalas todas (el enunciado suele decir «hallar las circunferencias»).
5. Comprobación: el radio del centro al punto de tangencia es perpendicular a la recta, y los centros y el punto de tangencia están alineados.

No borres las auxiliares: el corrector las usa para seguir tu razonamiento. Y si dos soluciones coinciden o una no existe, dilo con una nota («no hay solución porque ...»): es mejor que dejar el ejercicio incompleto.