Circunferencia tangente a dos rectas que pasa por un punto (Apolonio LLP)

Los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan están en las bisectrices del ángulo que forman. $P$ está dentro del ángulo, así que se usa su bisectriz.

Se elige un punto $O'$ cualquiera de la bisectriz y se traza la circunferencia tangente a $r$ y $s$ con ese centro. No pasa por $P$, pero tiene la forma de la solución: todas son homotéticas desde $V$.

Se une $V$ con $P$. Esta recta corta a la circunferencia auxiliar en $Q_1$ y $Q_2$, que son los homólogos de $P$ en cada una de las dos soluciones.

Por $P$ se traza la paralela a $O'Q_1$: corta a la bisectriz en $O_1$. Igual con $Q_2$ para $O_2$. La homotecia de centro $V$ que lleva $Q_k$ a $P$ lleva también $O'$ al centro buscado.

Las circunferencias de centros $O_1$, $O_2$ y radios $O_1P$, $O_2P$ son tangentes a $r$ y a $s$ y pasan por $P$. Los puntos de tangencia son los pies de las perpendiculares desde cada centro.