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Esfera: sección por un plano e intersección con una recta
Esfera en diédrico: sección por un plano con radio por triángulo rectángulo, elipse con partes vistas y ocultas e intersección con una recta por plano auxiliar.
Paso 1 de 13 · La esfera
Con las flechas ← → cambias de paso · espacio reproduce · Inicio y Fin van al primero y al último
Cada paso se dibuja con el mismo método que en clase: ver la solución completa.
Pruébalo tú
Mueve los puntos del enunciado y mira cómo cambia la construcción. Es la mejor forma de entender el método: tocar el dibujo y ver qué pasa.
El enunciado (arrastra los puntos)
Al mover un punto en horizontal se mueven sus dos proyecciones (se conserva la línea de referencia).
La solución, recalculada
Con las flechas ← → cambias de paso · espacio reproduce · Inicio y Fin van al primero y al último
La esfera se proyecta como una circunferencia de radio en planta y alzado, pero cualquier plano que la corte produce una circunferencia menor que se ve como elipse. El ejercicio combina la sección por un plano y la intersección con una recta, ambas con partes vistas y ocultas.
- Dibuja el contorno: circunferencias de centro y y radio .
- Para la sección, baja la perpendicular al plano desde y halla su pie , centro de la circunferencia de corte.
- Mide en verdadera magnitud: es la distancia . Si , no hay sección.
- El radio de la sección es , cateto de un triángulo de hipotenusa y cateto .
- Dibuja la circunferencia de centro y radio como un taladro: abatimiento, ejes de las elipses y cambios de visibilidad en el ecuador y el meridiano frontal.
- Para la recta, contiene en un plano auxiliar; su sección con la esfera es otra circunferencia, y donde la corta están e . Si es vertical, de punta o de perfil, usa un círculo máximo o un cambio de plano.
El tramo de recta que queda dentro de la esfera no se dibuja: la esfera es opaca.
Qué se aprende
- El contorno de la esfera es una circunferencia de radio $R$ en las dos vistas.
- El centro de la sección es el pie de la perpendicular desde el centro de la esfera.
- El radio de la sección sale de $\rho = \sqrt{R^2 - d^2}$.
- La sección se dibuja como elipse, igual que un taladro en un plano.
- Una recta corta a la esfera como mucho en dos puntos.
- El tramo interior de la recta no se dibuja porque la esfera es opaca.
El enunciado del ejemplo
Práctica 20 · Esfera: sección e intersección
Dada la esfera de centro O, se pide: 1 - Dibujar la sección producida por el plano ABCD en la esfera. Indicar partes vistas y ocultas. 2 - Determinar la intersección de la recta R (dada) con la esfera. Indicar partes vistas y ocultas.
Errores típicos
- Usar $R$ como radio de la sección en vez de $\rho$.
- Medir $d$ sobre la proyección del segmento $OQ$ sin verdadera magnitud.
- Olvidar comprobar si $d \geq R$ antes de dibujar la sección.
- Dibujar la recta entera en continuo, incluido el tramo de dentro de la esfera.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se halla el radio de la sección de una esfera por un plano?
- Con el triángulo rectángulo de hipotenusa $R$ y cateto $d$, la distancia del centro al plano: el otro cateto es $\rho = \sqrt{R^2 - d^2}$. Se construye gráficamente y se lleva al centro de la sección.
- ¿Por qué la sección se ve como una elipse?
- Porque la circunferencia de corte está en un plano inclinado respecto a los de proyección. Su proyección es una elipse cuyo eje mayor mide el diámetro de la sección y cuyo eje menor depende de la inclinación del plano.
- ¿Cuántos puntos de corte tiene una recta con una esfera?
- Como mucho dos, los que salen de cortar la recta con la circunferencia de la sección. Puede tener uno si es tangente y ninguno si pasa fuera; el método del plano auxiliar lo muestra directamente.
Ejercicios relacionados
¿Tienes tu propia lámina? Súbela y la resolvemos paso a paso con el mismo método que ves aquí.