Práctica 20 · Esfera: sección e intersección

La esfera de centro $O$ se proyecta en planta y en alzado como circunferencias de centro $o$ y $o'$ y radio $R$ (el de la esfera): son su ecuador y su meridiano frontal, el contorno aparente en cada proyección.

Buscamos una recta horizontal del plano $ABCD$. En el alzado es paralela a la línea de referencia ($h'$: todos sus puntos tienen la misma cota) y corta a dos lados del plano en $h_1'$ y $h_2'$. Bajamos esos dos puntos a los mismos lados en planta ($h_1$, $h_2$) y los unimos: esa es la planta $h$. Marca la dirección que vamos a mirar «de punta».

Elegimos un plano vertical nuevo perpendicular a $h$: su línea de tierra $LT_1$ se dibuja perpendicular a $h$, en una zona libre del papel para no dibujar encima de nada. Como el plano horizontal no cambia, se conservan las cotas. Las medimos en el alzado desde una línea de cota cero (la de abajo, por debajo de la esfera): es la referencia común.

Para cada vértice: desde su planta trazamos la paralela a $h$ hasta $LT_1$, y desde ahí llevamos con el compás su cota (medida en el alzado desde la línea de cota cero). Cada vértice va en su color: la misma medida en el alzado y en la vista nueva. Como $LT_1$ es perpendicular a la horizontal $h$, los cuatro quedan alineados: el plano se ve de canto, como una recta. Ahora es un plano proyectante.

El centro $O$ se lleva igual: paralela a $h$ desde $o$ hasta $LT_1$ y su cota con el compás. Una esfera se ve desde cualquier lado como un círculo de radio $R$: lo dibujamos con centro $o_1$.

La recta del plano corta al círculo en $m_1$ y $n_1$. El segmento $m_1n_1$ es el diámetro real de la circunferencia de sección y su punto medio $s_1$ (pie de la perpendicular desde $o_1$) es su centro. Comprobación: $\rho = \sqrt{R^2 - d^2}$, con $d = o_1s_1$.

Bajamos $s_1$, $m_1$ y $n_1$ a la planta por sus líneas de referencia (paralelas a $h$) hasta la recta que pasa por $o$ perpendicular a $h$: dan $s$, $m$ y $n$. La sección se ve como una elipse de centro $s$: eje mayor $12$, paralelo a $h$ y de longitud $m_1n_1$ (el diámetro horizontal no se acorta), y eje menor $mn$.

Subimos $s$, $m$, $n$, $1$ y $2$ al alzado por sus líneas de referencia, cada uno con la cota que tiene en la vista nueva (su distancia a $LT_1$). Los diámetros $1'2'$ y $m'n'$ son conjugados: con ellos se traza la elipse del alzado.

En planta la sección cambia de vista a oculta donde cruza el ecuador (la cota del centro). En la vista nueva es inmediato: la paralela a $LT_1$ por $o_1$ corta a la recta del plano, y su línea de referencia es la horizontal del plano a esa cota; corta a la elipse en $t_1$ y $t_2$, justo donde toca al contorno. En alzado, igual con el meridiano frontal: la recta horizontal por $o$ en planta corta a la elipse en dos puntos que, subidos al alzado, dan $t_3'$ y $t_4'$ sobre el contorno.

En planta se ve el arco de la elipse que queda por encima del ecuador (más cota que $O$); en alzado, el que queda por delante del meridiano frontal (más alejamiento). El resto, en discontinuo.

$r$ es frontal: la contenemos en el plano frontal que pasa por ella. Su traza en planta es $r$, que corta al contorno en $e$ y $g$: la sección es una circunferencia de diámetro $eg$, que en alzado se ve en verdadera magnitud con centro en la referencia de su punto medio. Donde la corta $r'$ están los puntos de intersección.

$r$ entra y sale de la esfera por $I_1$ y $I_2$; el tramo de dentro no se dibuja. Fuera, un tramo se oculta si su proyección cae dentro del contorno y está por debajo del ecuador (planta) o por detrás del meridiano frontal (alzado).

Sección por el plano $ABCD$ e intersección con $r$, con partes vistas (continuas) y ocultas (discontinuas).