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Intersección de recta y plano: plano proyectante
Intersección de recta y plano en diédrico paso a paso con plano proyectante auxiliar: casos de recta vertical, de punta y de perfil y partes vistas y ocultas.
Paso 1 de 4 · Plano proyectante que contiene a la recta
Con las flechas ← → cambias de paso · espacio reproduce · Inicio y Fin van al primero y al último
Cada paso se dibuja con el mismo método que en clase: ver la solución completa.
Pruébalo tú
Mueve los puntos del enunciado y mira cómo cambia la construcción. Es la mejor forma de entender el método: tocar el dibujo y ver qué pasa.
El enunciado (arrastra los puntos)
Al mover un punto en horizontal se mueven sus dos proyecciones (se conserva la línea de referencia).
La solución, recalculada
Con las flechas ← → cambias de paso · espacio reproduce · Inicio y Fin van al primero y al último
La intersección de recta y plano se resuelve con un plano auxiliar que contenga a la recta y se vea de canto. Así el problema se reduce a cortar rectas del plano, y el punto que sale es el único común a la recta y al plano.
- Contén la recta en un plano proyectante: vertical si su traza coincide con , u horizontal si coincide con .
- Donde esa traza corta a dos rectas del plano obtienes y . Llévalos a la otra proyección por referencia.
- La recta es la intersección del plano auxiliar con el plano dado.
- Donde corta a la otra proyección de está ; se obtiene por referencia sobre la traza.
- Si piden partes vistas y ocultas, busca un cruce de con una arista y compara cotas en planta o alejamientos en alzado. La visibilidad cambia en y en el contorno.
Hay tres casos que conviene reconocer. Si la recta es vertical o de punta, su proyección puntual ya es el punto de corte y solo falta la otra. Si es de perfil, se cambia de plano a un perfil que la contenga: la recta se ve en verdadera magnitud y el plano como su traza .
Qué se aprende
- El plano proyectante convierte un problema de espacio en un corte de rectas.
- La recta $12$ es la intersección de los dos planos, no el punto buscado.
- En una recta vertical o de punta, una proyección del punto ya se conoce.
- La recta de perfil exige un cambio de plano al perfil para verla en verdadera magnitud.
- La visibilidad se justifica comparando cotas o alejamientos en un cruce concreto.
El enunciado del ejemplo
Ejemplo · Intersección de recta y plano
Hallar la intersección de la recta RS con el plano ABC.
Errores típicos
- Elegir un plano proyectante cuya traza no coincide con la proyección de la recta.
- No prolongar la recta cuando el punto de corte cae fuera del tramo dibujado.
- Confundir la recta $12$ con la solución: la solución es donde esa recta corta a $r$.
- Pintar partes vistas y ocultas sin comparar la profundidad en un punto de cruce.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se hace la intersección de una recta y un plano?
- Se mete la recta en un plano proyectante auxiliar, se corta ese plano con el dado (recta $12$) y se busca dónde esa recta corta a la recta original. El punto de corte es la intersección buscada.
- ¿Por qué se usa un plano proyectante?
- Porque en la proyección donde es de canto se ve como una recta, y ahí los cortes con el plano dado se leen directamente. Sin ese plano auxiliar habría que trabajar en el espacio, que es justo lo que el diédrico evita.
- ¿Qué pasa si la recta es de perfil?
- Que en planta y alzado se ve como dos segmentos verticales y el plano proyectante habitual no sirve. Se cambia de plano a un perfil que contenga la recta: en él la recta está en verdadera magnitud y el plano aparece como su traza.
Ejercicios relacionados
¿Tienes tu propia lámina? Súbela y la resolvemos paso a paso con el mismo método que ves aquí.