Sistema de planos acotados

Un punto queda definido por su planta y su cota: $A(2)$ y $B(7)$ son dos puntos de cotas 2 y 7. Una recta se define por dos puntos. Su proyección es la recta $ab$ de la planta, y los puntos van rotulados con su cota.

Dos magnitudes describen la inclinación de la recta:

- La pendiente $p$ es lo que sube la recta por cada unidad que avanza en horizontal: $$p = \frac{\Delta h}{d} = \tan\alpha$$donde$\Delta h$es la diferencia de cota entre dos puntos,$d$su distancia en planta y$\alpha$el ángulo de la recta con el plano horizontal. Se suele dar como **fracción** (2/3) o en **porcentaje** (66,7$i$es la **distancia en planta** que hay que avanzar para subir **una unidad** de cota:$$i = \frac{d}{\Delta h} = \frac{1}{p}$$$

Son inversos: una recta muy inclinada tiene pendiente grande e intervalo pequeño. Y como el intervalo se mide en planta, se dibuja con la escala del dibujo, que es lo cómodo del sistema.

Graduar una recta es marcar sobre ella los puntos de cota entera (o de la unidad que se elija) y escribir su cota. Una vez graduada, se puede leer la cota de cualquier punto y la posición de cualquier cota.

Si conocemos dos puntos, $A(2)$ y $B(7)$:

1. Mide en planta la distancia $d = ab$.
2. La diferencia de cota es $\Delta h = 7 - 2 = 5$, así que hay 5 intervalos entre $A$ y $B$ y el intervalo vale $i = d / 5$.
3. Divide $ab$ en 5 partes iguales (con el método de las paralelas o midiendo con la regla): los puntos de división son los de cotas 3, 4, 5 y 6.
4. Rotula cada punto con su cota.

Si lo que se conoce es un punto y la pendiente, se calcula el intervalo $i = 1/p$ y se llevan intervalos a partir del punto: hacia arriba sumando cotas y hacia abajo restando.

Para hallar la cota de un punto intermedio (no entero) se interpola: el punto está a una fracción de la distancia, y su cota es la misma fracción de la diferencia. Es el procedimiento del cálculo de cotas en un mapa de curvas de nivel.

Para hallar la longitud real de un segmento acotado se usa el triángulo de pendiente, el mismo triángulo de cotas del diédrico pero a escala:

1. En planta, sobre la recta, toma la distancia $d$ entre los dos puntos.
2. Por un extremo, levanta una perpendicular y lleva sobre ella la diferencia de cota $\Delta h$ (con la misma escala que la planta).
3. La hipotenusa es la longitud real del segmento y su ángulo con la base es $\alpha$.

En el ejemplo $A(2)$-$B(7)$ con $d = 21$ unidades, $\Delta h = 5$: la longitud real es $\sqrt{21^2 + 5^2} \approx 21{,}6$, la pendiente es $5/21 \approx 0{,}24$ y el ángulo $\alpha \approx 13{,}4°$.

Un caso inverso frecuente: dado un punto $A$ y una pendiente, trazar una recta que parta de $A$ con esa pendiente hasta cierta cota. Se calcula el intervalo, se gradúa a partir de $A$ y se obtiene la posición de los puntos de cota entera. Si el recorrido es libre, hay infinitas soluciones (un cono de rectas de igual pendiente).

Un plano se representa por sus horizontales (rectas de igual cota), que son paralelas entre sí y equidistantes cuando se toman de cota en cota. Esa distancia es el intervalo del plano.

La recta de máxima pendiente es la recta del plano perpendicular a las horizontales. Dibujada con doble trazo y graduada, se llama escala de pendiente del plano y define el plano por completo: las horizontales se trazan por sus divisiones, perpendiculares a ella.

Un plano puede venir dado por:

• Su escala de pendiente. Es lo más directo.
• Tres puntos $A$, $B$ y $C$. Se gradúan dos lados; las rectas que unen puntos de la misma cota son horizontales, con lo que ya está el plano.
• Una recta y la pendiente: se pide el plano que contiene a una recta y tiene una pendiente dada. Puede haber dos soluciones, una o ninguna (si la pendiente pedida es menor que la de la propia recta no existe).

La figura muestra seis horizontales equidistantes y la escala de pendiente en rojo. Lo esencial: el intervalo de un plano es el de su escala de pendiente y es inverso de su pendiente.

Las intersecciones siguen la misma lógica que en diédrico, con una ventaja: las horizontales hacen el papel de los planos auxiliares.

Intersección de dos planos. Se trazan las horizontales de los dos planos de la misma cota: se cortan en un punto de la intersección. Se repite con otra cota para tener otro punto. La recta que los une, graduada, es la recta de intersección. Si las horizontales de la misma cota son paralelas y distintas, los planos se cortan en una horizontal o son paralelos.

Intersección de recta y plano. Se hace pasar por la recta un plano auxiliar (el más cómodo, uno cualquiera que la contenga). Se halla la intersección del auxiliar con el plano dado, que es una recta, y donde esta corta a la recta dada está el punto de intersección.

Rectas paralelas y perpendiculares a un plano. Dos rectas paralelas tienen la planta paralela, el mismo intervalo y el mismo sentido de pendiente. Una recta perpendicular a un plano tiene la planta paralela a la escala de pendiente del plano, asciende en el sentido en que el plano desciende y su intervalo es el inverso del intervalo del plano: si el plano tiene intervalo $i$, la perpendicular tiene $1/i$ (con la misma unidad de longitud).

Una cubierta se resuelve en planos acotados cuando se dan la planta del edificio (el contorno de los muros, a una cota común: el alero) y las pendientes de los faldones. Cada faldón es un plano con su pendiente, y la unión de dos faldones es una recta de intersección:

• Limatesa: arista saliente (convexa) donde se encuentran dos faldones, en el vértice exterior del tejado.
• Limahoya: arista entrante (cóncava) donde se encuentran dos faldones que forman un ángulo hacia dentro.
• Cumbrera: arista horizontal más alta donde se encuentran dos faldones.

El procedimiento general, con la misma pendiente en todos los faldones (lo más habitual):

1. Cada faldón es un plano cuya horizontal de cota 0 es el borde del alero.
2. Se dibujan las horizontales de cota 1 de cada faldón, a una distancia $i$ del alero hacia dentro.
3. Las horizontales de cota 1 de dos faldones contiguos se cortan en un punto de la limatesa (o de la limahoya). Con la misma pendiente, las limatesas son las bisectrices de los ángulos que forman los aleros.
4. Se unen los puntos y se gradúan las aristas para conocer la altura de cada vértice.

Del dibujo salen la altura de la cumbrera, la longitud real de cada arista y la superficie real de cada faldón, que se calcula en verdadera magnitud.

Un ejercicio de planos acotados se corrige por la claridad del dibujo graduado. Algunas costumbres que puntúan:

• Escribe la cota junto a cada punto, siempre con el mismo estilo ($A(2)$ o $A_2$), y no la omitas en los puntos auxiliares.
• Dibuja las horizontales con trazo fino y las escalas de pendiente con doble trazo (una línea gruesa y una fina al lado).
• Marca con claridad el intervalo y la escala gráfica del dibujo.
• Rotula las rectas de intersección y grádualas hasta donde haga falta.
• Calcula un dato numérico (pendiente, longitud real, ángulo) para dejar el resultado verificable.

Y un consejo práctico: antes de graduar, elige una unidad de cota que dé intervalos de un tamaño cómodo (por ejemplo, 1 cm o 2 cm de papel por unidad). Un intervalo demasiado pequeño se vuelve ilegible; uno demasiado grande no cabe en la lámina.