Secciones planas y desarrollos de cuerpos

Si el plano de corte es proyectante (perpendicular a un plano de proyección), en esa vista se ve de canto, como una recta. Es el caso más frecuente y el más fácil:

1. En la vista donde el plano se ve de canto, marca los puntos en que esa recta corta a las proyecciones de las aristas laterales del prisma. Cada punto es un vértice de la sección.
2. Súbelos (o bájalos) a la otra vista por las líneas de referencia, cada uno sobre la proyección de su arista.
3. Une los vértices en el orden de las caras. En la vista donde el plano está de canto la sección es un segmento; en la otra, un polígono deformado.
4. Decide la visibilidad: la parte de la sección que está en las caras de delante (o de arriba) se ve; la de las caras traseras, en discontinuo.

Para un prisma recto, la sección por un plano paralelo a la base es igual a la base; por un plano oblicuo es un polígono con tantos lados como caras cortadas, y si el plano corta también las bases, aparecen lados sobre ellas.

Un cilindro recto cortado por un plano que forma un ángulo β con la base (y no es paralelo al eje) produce una elipse:

• El eje menor vale siempre el diámetro del cilindro, $2r$.
• El eje mayor vale $2r / \cos\beta$: cuanto más inclinado el plano, más alargada la elipse.

Para dibujarla por puntos:

1. Divide la circunferencia de la planta en 12 partes iguales y traza las generatrices por esos puntos.
2. En la vista donde el plano está de canto, cada generatriz corta al plano en un punto: su altura se lee directamente.
3. Traslada esas alturas a la otra vista: los puntos obtenidos pertenecen a la elipse.
4. Une los puntos con curva continua, usando los ejes como referencia de tangencia.

Si el plano es paralelo a la base, la sección es una circunferencia; si es paralela al eje, dos generatrices (un rectángulo).

La sección, tal como se ve en las proyecciones, no es la figura real: está inclinada. Para dibujarla en verdadera magnitud:

• Cambio de plano (el más habitual en estos ejercicios): se traza una línea de tierra paralela a la recta del plano de canto. Cada vértice se lleva a la vista nueva a una distancia de esa línea igual a la que tenía en la otra vista (la que no cambia). La figura aparece en VM.
• Abatimiento: se gira el plano de corte alrededor de su traza (charnela) hasta dejarlo paralelo al plano de proyección, y cada punto se abate con su triángulo.

Dos comprobaciones: en la VM, el eje menor de la elipse del cilindro mide $2r$ (el diámetro), y los lados de la sección de un prisma se corresponden con aristas paralelas de la figura de partida. Y una más: la VM de la sección es mayor o igual que cualquiera de sus proyecciones.

La construcción es la que se explica en verdadera magnitud y cambio de plano. El ejercicio resuelto de la sección por un plano ABC la muestra sobre una pieza.

El desarrollo es la superficie lateral extendida. Para un prisma recto:

• Las caras laterales son rectángulos de altura igual a la del prisma $H$ y de ancho igual a cada lado de la base.
• Se colocan en fila, una a continuación de otra, formando un rectángulo de ancho igual al perímetro de la base (por ejemplo $4a$ si la base es un cuadrado de lado $a$) y de alto $H$.
• Las bases se pegan a una de las caras laterales (cualquiera) por un lado.

Para pasar la sección al desarrollo:

1. Numera las aristas laterales en el orden en que las recorres.
2. En el rectángulo, dibuja cada arista como una vertical, a la distancia que corresponda (los anchos de las caras).
3. Sobre cada vertical, mide desde la base la altura real a la que el plano corta a esa arista (se lee en la vista de alzado o de perfil donde la arista se ve en VM).
4. Une los puntos con segmentos rectos: la sección se desarrolla como una línea quebrada.

Esas alturas se miden en alzado, porque las aristas laterales de un prisma recto son verticales y se ven en VM.

El desarrollo de un cilindro recto es un rectángulo de ancho $2\pi r$ (la longitud de la circunferencia de la base) y alto $H$. Las bases son dos círculos de radio $r$ que se pegan en una generatriz.

Para desarrollar la elipse de la sección:

1. Divide la circunferencia de la base en $n$ partes iguales (12 es un buen número) y numera las generatrices.
2. En el rectángulo, divide el ancho $2\pi r$ en las mismas $n$ partes y traza las generatrices como verticales.
3. Sobre cada generatriz, lleva desde la base la altura a la que el plano corta a esa generatriz (se lee en el alzado).
4. Une los puntos con curva continua: obtienes una sinusoide, la transformada de la elipse.

Un truco de comprobación: la sinusoide tiene dos puntos de altura máxima y mínima a media vuelta uno del otro, justo en las generatrices extremas del plano, y vuelve a empezar con la misma altura al cerrar el desarrollo. Si no cierra a la misma altura, hay una medida mal tomada.

Con vértice el procedimiento cambia en un detalle: las aristas laterales no se ven en verdadera magnitud en las vistas.

• Pirámide recta: las caras laterales son triángulos isósceles de base igual al lado de la base y lados iguales a la arista lateral. Hay que hallar la VM de la arista (con el triángulo de cotas o un cambio de plano) y construir los triángulos uno tras otro con compás.
• Cono recto: el desarrollo es un sector circular de radio $g$ (la generatriz) y arco $2\pi r$. Su ángulo central vale $\theta = 360° \cdot r / g$.
• Sección transformada: la distancia de cada punto de la sección al vértice se mide en verdadera magnitud sobre la generatriz (con un giro de la generatriz hasta ponerla paralela al plano de proyección) y se lleva sobre la generatriz desarrollada.

Una pirámide cortada por un plano paralelo a la base da una sección semejante a la base: su razón de semejanza se lee en la altura. Es la comprobación rápida de que la sección es correcta.

Estos ejercicios son largos. Un orden que ahorra errores:

1. Vistas del cuerpo y traza del plano (de canto en una vista).
2. Puntos de la sección en esa vista y paso a la otra por las referencias.
3. Sección en la vista, con su visibilidad.
4. Verdadera magnitud: línea de tierra paralela, vértices llevados con las distancias de la otra vista.
5. Desarrollo: rectángulo (o sector), generatrices numeradas y alturas llevadas.
6. Rayado de la sección en la VM (a 45°) y rotulado.

Deja las líneas auxiliares a la vista y numera los vértices de la sección: es lo que permite a quien corrige seguir el razonamiento. Y no borres la escala: en estos ejercicios la medida del desarrollo se comprueba con el perímetro de la base ($4a$ o $2\pi r$).