Polígonos regulares: construcción dado el lado o inscritos en una circunferencia

• Triángulo equilátero dado el lado $AB$: con centro en $A$ y en $B$ y radio $AB$ se trazan dos arcos que se cortan en el tercer vértice.
• Cuadrado dado el lado: perpendiculares por los extremos y arcos de radio $AB$.
• Hexágono regular: su lado es igual al radio de la circunferencia circunscrita. Con el compás abierto al radio se marcan seis puntos sobre la circunferencia.
• Triángulo inscrito: se unen alternativamente los vértices del hexágono.
• Dodecágono: se bisecan los arcos del hexágono.

Cada vez que se duplica el número de lados se pueden bisecar los arcos: del cuadrado sale el octógono; del triángulo, el hexágono.

Inscrito en una circunferencia de centro $O$: se trazan dos diámetros perpendiculares $AB$ y $CD$; se halla el punto medio $M$ del radio $OB$; con centro en $M$ y radio $MC$ se corta al diámetro $AB$, del lado de $A$, en un punto $N$; la distancia $CN$ es el lado del pentágono.

Dado el lado $AB$:

1. Se traza la perpendicular a $AB$ por $B$ y se lleva $BC = AB$.
2. Se halla el punto medio $M$ de $AB$ y con centro en $M$ y radio $MC$ se corta a la prolongación de $AB$ en $D'$. La distancia $AD'$ es la diagonal $d$ del pentágono ($d = 1{,}618\,AB$, la proporción áurea).
3. El vértice opuesto al lado, $D$, es el corte de los arcos de radio $d$ con centro en $A$ y en $B$.
4. Los otros dos vértices: $C$ es el corte del arco de centro $B$ y radio $AB$ con el de centro $A$ y radio $d$; $E$, el del arco de centro $A$ y radio $AB$ con el de centro $B$ y radio $d$.

El decágono sale de bisecar los arcos del pentágono.

El heptágono (y el eneágono, el endecágono…) no se puede construir con exactitud con regla y compás. Se aceptan construcciones aproximadas:

- Heptágono inscrito: su lado es aproximadamente la mitad del lado del triángulo equilátero inscrito en la misma circunferencia (error menor del 0,3 %). - Método general para cualquier número $n$ de lados: 1. Se divide un diámetro $AB$ en $n$ partes iguales. 2. Con centro en $A$ y en $B$ y radio $AB$ se trazan dos arcos que se cortan en $C$. 3. Se une $C$ con la segunda división del diámetro y se prolonga hasta cortar a la circunferencia: ese punto es el segundo vértice, con $A$ como primero. 4. La cuerda $A$-(segundo vértice) es el lado: se lleva con el compás.

El método general es aproximado salvo para $n = 3, 4$ y $6$, pero el error es pequeño y se admite en el examen.

Si se unen los vértices de un polígono regular de $n$ lados saltando $k$, sale un polígono estrellado $\{n/k\}$. El pentagrama $\{5/2\}$ es el más conocido.

Relaciones con el radio $R$ de la circunferencia circunscrita:

Dado el lado de un polígono cualquiera: se construye con un lado arbitrario, se traza su circunferencia circunscrita y se obtiene el polígono pedido por semejanza (homotecia desde un vértice o desde el centro).