[ GUÍA ]
Octaedro regular sobre un cuadrado
Octaedro regular cuyo ecuador es un cuadrado: centro, perpendicular al plano, semidiagonal en verdadera magnitud, vértices y aristas vistas y ocultas.
Paso 1 de 12 · AB es horizontal
Con las flechas ← → cambias de paso · espacio reproduce · Inicio y Fin van al primero y al último
Cada paso se dibuja con el mismo método que en clase: ver la solución completa.
Pruébalo tú
Mueve los puntos del enunciado y mira cómo cambia la construcción. Es la mejor forma de entender el método: tocar el dibujo y ver qué pasa.
El enunciado (arrastra los puntos)
Al mover un punto en horizontal se mueven sus dos proyecciones (se conserva la línea de referencia).
La solución, recalculada
Con las flechas ← → cambias de paso · espacio reproduce · Inicio y Fin van al primero y al último
El octaedro regular sobre un cuadrado se construye a partir de su ecuador: un cuadrado cuyos cuatro lados son aristas del sólido. Los otros dos vértices están sobre la perpendicular al plano del cuadrado por su centro, a la distancia de la semidiagonal.
- Si falta la planta de algún vértice, complétala con el teorema del ángulo recto: con un lado horizontal, el ángulo recto se conserva en planta.
- Halla el centro con el corte de las diagonales, en planta y alzado.
- Traza la perpendicular al plano del cuadrado por , con la horizontal y la frontal.
- Mide la semidiagonal en verdadera magnitud con el triángulo de cotas.
- Lleva esa distancia a un lado y otro de sobre la perpendicular, abatiéndola: salen y .
- Únelos con los cuatro vértices del cuadrado y resuelve la visibilidad cara por cara.
La arista coincide con el lado del cuadrado y la diagonal de este es el doble de : sirven para comprobar el resultado.
Qué se aprende
- El cuadrado de partida es el ecuador del octaedro y sus lados son aristas.
- Los otros dos vértices están sobre la perpendicular al cuadrado por su centro.
- La distancia de $O$ a $E$ es la semidiagonal del cuadrado, no la diagonal entera.
- La semidiagonal se mide en verdadera magnitud antes de llevarla sobre la perpendicular.
- El ángulo recto con un lado horizontal se conserva en planta.
- La visibilidad se decide cara por cara, no arista por arista al azar.
El enunciado del ejemplo
Práctica 18 · Octaedro sobre un cuadrado
Dadas las proyecciones horizontal y vertical de los puntos a-a′ y b-b′. Proyecciones verticales de los puntos c-c′ y d-d′. a) Determine la proyección horizontal de un cuadrado que tenga los vértices en los puntos a-a′, b-b′, c-c′ y d-d′. [1 punto]. b) Dibuje las proyecciones horizontal y vertical de un octaedro regular de forma que los lados del cuadrado determinado en el apartado anterior sean aristas del octaedro. Diferenciar las aristas vistas de las ocultas. [1,5 puntos por la proyección horizontal y 1,5 puntos por la proyección vertical]
Errores típicos
- Llevar la diagonal completa sobre la perpendicular en vez de la semidiagonal.
- Poner $E$ y $F$ en el plano del cuadrado, que daría una figura plana.
- Completar la planta sin comprobar que el lado de referencia es horizontal.
- Dibujar el sólido sin separar las aristas vistas de las ocultas.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué relación hay entre la arista y la diagonal del cuadrado?
- El lado del cuadrado es la arista del octaedro. Su diagonal mide $a\sqrt{2}$ y es el doble de la distancia del centro a los vértices $E$ y $F$.
- ¿Por qué $E$ y $F$ están sobre la perpendicular al cuadrado?
- Porque en un octaedro regular los dos vértices opuestos al ecuador están alineados con su centro y perpendiculares a su plano. Esa es la simetría del sólido y la que permite construirlo en diédrico.
- ¿Qué es el ecuador de un octaedro?
- Es el cuadrado que resulta de cortarlo por el plano que pasa por su centro y es perpendicular a la diagonal que une los dos vértices restantes. En este ejercicio, ese cuadrado es el dato de partida.
Ejercicios relacionados
¿Tienes tu propia lámina? Súbela y la resolvemos paso a paso con el mismo método que ves aquí.