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Tetraedro regular dadas dos aristas opuestas
Tetraedro regular a partir de las rectas de dos aristas opuestas: perpendicular común, distancia entre aristas y arista del sólido, con partes vistas y ocultas.
Paso 1 de 11 · Plano que contiene a r y es paralelo a s
Con las flechas ← → cambias de paso · espacio reproduce · Inicio y Fin van al primero y al último
Cada paso se dibuja con el mismo método que en clase: ver la solución completa.
Pruébalo tú
Mueve los puntos del enunciado y mira cómo cambia la construcción. Es la mejor forma de entender el método: tocar el dibujo y ver qué pasa.
El enunciado (arrastra los puntos)
Al mover un punto en horizontal se mueven sus dos proyecciones (se conserva la línea de referencia).
La solución, recalculada
Con las flechas ← → cambias de paso · espacio reproduce · Inicio y Fin van al primero y al último
El tetraedro regular dadas dos aristas opuestas se apoya en una propiedad clave: las aristas opuestas son perpendiculares y su perpendicular común une los puntos medios de las dos. Esa perpendicular común fija el tamaño del sólido.
- Traza el plano que contiene a y es paralelo a : por un punto de , una paralela a .
- Baja la perpendicular a desde un punto de y halla su pie con un plano proyectante.
- Por , la paralela a corta a en , punto medio de una arista.
- Por , la paralela a la perpendicular anterior corta a en . es la perpendicular común.
- Mide en verdadera magnitud con el triángulo de cotas: es , y la arista es .
- Lleva a cada lado de sobre y de sobre : esos son los vértices. Une y resuelve las partes vistas y ocultas.
Si piden la sección por el plano medio, ese plano pasa por el punto medio de , corta las otras cuatro aristas en sus puntos medios y da un cuadrado de lado .
Qué se aprende
- En un tetraedro regular, las aristas opuestas son perpendiculares.
- La perpendicular común a las dos rectas une sus puntos medios.
- La distancia entre aristas opuestas es $d = a/\sqrt{2}$.
- La arista se obtiene como diagonal del cuadrado de lado $d$.
- Cada punto medio se reparte $a/2$ a un lado y otro sobre su recta.
- La sección por el plano medio es un cuadrado de lado $a/2$.
El enunciado del ejemplo
Práctica 16 · Tetraedro por dos aristas opuestas
Las rectas R y S corresponden a las posiciones de las aristas opuestas de un tetraedro regular. Dibujarlo y hallar la sección producida por un plano paralelo a dichas rectas y que pase por el punto medio de la distancia entre ellos.
Errores típicos
- Suponer que las rectas de las aristas opuestas se cortan: en general se cruzan.
- Medir la distancia entre las rectas en una proyección y no en verdadera magnitud.
- Repartir la arista completa $a$ a cada lado del punto medio en vez de $a/2$.
- Dibujar todas las aristas en continuo sin estudiar qué caras miran al observador.
Preguntas frecuentes
- ¿Por qué las aristas opuestas de un tetraedro regular son perpendiculares?
- Porque sus direcciones son diagonales de caras perpendiculares del cubo en que se inscribe el tetraedro. Esa perpendicularidad es la que permite construir el sólido a partir de las dos rectas dadas.
- ¿Qué relación hay entre la distancia entre aristas y la arista del tetraedro?
- La distancia entre aristas opuestas vale $d = a/\sqrt{2}$, donde $a$ es la arista. Por eso, conocida $d$, la arista se dibuja como la diagonal de un cuadrado de lado $d$.
- ¿Qué es la perpendicular común a dos rectas que se cruzan?
- Es el segmento más corto que une las dos rectas: la recta que las corta perpendicularmente a ambas. En el tetraedro regular pasa por los puntos medios de las dos aristas opuestas.
Ejercicios relacionados
¿Tienes tu propia lámina? Súbela y la resolvemos paso a paso con el mismo método que ves aquí.