Práctica 16 · Tetraedro por dos aristas opuestas

Por un punto de $r$ trazamos $s_1$ paralela a $s$ (proyecciones paralelas a las de $s$). El plano $\alpha = (r, s_1)$ contiene a $r$ y es paralelo a $s$: la distancia entre las rectas es la de $s$ a $\alpha$.

Buscamos una recta horizontal del plano $alpha$: en alzado es horizontal (todos sus puntos tienen la misma cota) y la llevamos a planta. Su planta $h$ marca la dirección que vamos a mirar «de punta».

Elegimos un plano vertical nuevo perpendicular a $h$: su línea de tierra $LT_1$ se dibuja perpendicular a $h$, en una zona libre del papel para no dibujar encima de nada. Las líneas de referencia nuevas salen de la planta paralelas a $h$ y en la vista nueva se conservan las cotas.

Llevamos los puntos del plano a la vista nueva con sus cotas. Como $LT_1$ es perpendicular a la horizontal $h$, quedan alineados: el plano se ve de canto, como una recta (es proyectante respecto al plano nuevo).

Llevamos $s$ a la vista nueva. Como es paralela a $alpha$, se ve paralela a su recta de canto (o de punta, si es horizontal), y la separación entre las dos es la mínima distancia $d$ entre $r$ y $s$, en verdadera magnitud. En el tetraedro regular $d = a/sqrt{2}$, así que la arista es $a = dsqrt{2}$.

Nueva línea de tierra $LT_2$ paralela a la recta de canto de $alpha$. Ahora se conserva la distancia de cada punto a $LT_1$ (medida en la planta). $r$ y $s$ quedan en verdadera magnitud y se cruzan en un punto: ahí se ve de punta la perpendicular común, que une los puntos medios $P$ y $Q$ de las dos aristas.

En la vista 2 las aristas están en verdadera magnitud: llevamos $a/2$ a cada lado del cruce sobre $r_2$ ($a_2$, $b_2$) y sobre $s_2$ ($c_2$, $d_2$).

Deshacemos los cambios en orden inverso: de la vista 2 a la 1 por perpendiculares a $LT_2$ hasta $r_1$ o $s_1$; de la 1 a la planta por perpendiculares a $LT_1$ hasta $r$ o $s$; y al alzado por la línea de referencia, sobre $r'$ o $s'$.

Unimos los cuatro vértices. Una arista se ve si alguna de sus dos caras mira al observador: en planta, las caras que miran hacia arriba; en alzado, las que miran hacia delante. Lo oculto, en discontinuo.

El plano paralelo a $r$ y $s$ por el punto medio de $PQ$ equidista de las dos rectas, así que corta a las otras cuatro aristas en sus puntos medios. Como el punto medio se conserva en proyección, basta tomar los de $ac$, $cb$, $bd$, $da$ (y sus alzados). En verdadera magnitud la sección es un cuadrado de lado $a/2 \approx$.

Tetraedro regular de arista $a \approx$ con sus aristas $AB$ en $r$ y $CD$ en $s$, y su sección cuadrada por el plano medio.